電場能量密度理想平行板電容器內(nèi)的靜電能及能量密度

一平行板電容器的兩極間距d比極板面的線度小很多時，可忽略邊緣效應(yīng)，看成一個無窮大的理想平行板電容器。板間不填充任何介質(zhì)，加有直流電壓

極板上面電荷密度為

由此可求出電場能量密度為

有些教材講該結(jié)論適合一切電場。平行板電容器的電場只是無數(shù)電場中的一個特例, 用該場推導(dǎo)的結(jié)論不一定具有普遍性，所以有學(xué)者又用其他方法推導(dǎo)公式來驗證此結(jié)論。下面首先對靜電場中的一些能量公式進(jìn)行分析對比, 指出靜電能是電勢能、自能或固有能、相互作用能的統(tǒng)稱, 靜電場的能量就是激發(fā)靜電場的帶電體系總的靜電能。

電場能量密度電勢能、相互作用能

靜電場是保守力場或勢場, 檢驗電荷q0在靜電場中某點p 的電勢能可表示為

式中Up 是靜電場中p 點的勢能。q0 的電勢能實際上是檢驗電荷和靜電場(或產(chǎn)生靜電場的場源電荷)構(gòu)成的帶電體系所共有的,所以電勢能也稱帶電體系的相互作用能, 又稱帶電體系的靜電能, 屬于該帶電體系總靜電能的一部分.

電場能量密度自能

一個孤立的帶電體其靜電能稱為自能或固有能。用做功的方法來定義,設(shè)物體帶電量為Q 時, 其電勢為U , 則帶電體整個荷電過程中, 外界反抗電場力所做的功轉(zhuǎn)化為該帶電體的靜電自能W , 寫成

同相互作用能比較可知, 帶電體的自能本質(zhì)上是帶電體上各部分電荷之間的相互作用能。

電場能量密度電荷連續(xù)分布的帶電體系的靜電能

這種體系可以是一個帶電體或若干個帶電體, 各帶電體的自能再加上它們之間的相互作用能便是整個帶電體系的總靜電能。設(shè)帶電體的體積為V , 電荷分布的體密度為ρ(x , y , z), 其總靜電能為:

積分遍及帶電體全部體積V 。U 為被積帶電體體積元所在處的電勢, 此電勢是所有其它帶電體及被積帶電體積元電荷共同產(chǎn)生的。

電場能量密度用電力線管推導(dǎo)電場能量及其能量密度：

從帶電體系的總靜電能出發(fā), 導(dǎo)出帶電體系的靜電場能量, 進(jìn)而得到靜電場的能量密度。設(shè)有m 個電荷連續(xù)分布的帶電體構(gòu)成帶電體系。導(dǎo)體1 的電荷為Q1 , 導(dǎo)體2 的電荷為Q2 ...導(dǎo)體m 的電荷為Qm。設(shè)想電場空間的電力線由無限多電力線管構(gòu)成, 每一個電力線管在導(dǎo)體表面上的面積為ds , 如圖1所示。

對于任意考察的電力線管L , E·ds 為一定值, 等于通過電力線管截面的電通量。其中E 是電力線管中各點的電場強度, ds 為場強E 所在點的電力線管的截面積, ds 指向電力線方向。對于連接導(dǎo)體j 和導(dǎo)體k 的任意電力線管L , dsj 沿電力線方向, dsk 與電力線方向相反, 如圖2所示。

以上討論的是真空中的靜電場, 對于線形電介質(zhì)中的靜電場, 可以考慮電位移線管,對于任一考察的電位移線管,都可以得到

詳細(xì)推導(dǎo)過程請查看文獻(xiàn)‘用電力線管推導(dǎo)電場能量及電場能量密度’。

電場能量密度運用元電容概念分析

在任意自由空間中的靜電場可用電通量管來描述電場的結(jié)構(gòu)，每個電通量管內(nèi)電通量線的根數(shù)是固定的，整個空間是由無窮個小點通量館組成的?？杉傧朊總€電通量管是無數(shù)個理想平行板電容器即元電容串聯(lián)的集合。由于空間不存在自由電荷，可假設(shè)通量管中元電容極板的每個平板在它兩個面上有相等而符號相反的電荷，因而在電通量管中不存在凈電荷。

對每個元電容不許考慮邊緣效應(yīng)，因為每個局部元電容中的場被周圍元電容中的場加以保護。這樣任意一個自由空間是由無數(shù)個元電容組構(gòu)成的一個電容結(jié)構(gòu)，而每個元電容都相當(dāng)于一個無限大平行板電容器。所以用理想平行板電容器的均勻場研究空間電場能量分布具有普遍意義。2100433B

單位體積內(nèi)的磁場能量稱為磁場能量密度。定義式：ω=W/V=(BH)/2。其中V是體積，B是磁感應(yīng)強度，H是磁場強度，H=B/μ。

磁場建立過程中本身儲存的能量。簡稱磁能。在一個線圈中建立磁場，電流從零增加到穩(wěn)定值的過程中，電源要反抗自感電動勢做功，與這部分功相聯(lián)系著的能量稱為自感磁能。若在兩個存在互感作用的線圈中分別通入電流時，電源除反抗自感電動勢做功外，還要反抗線圈間的互感電動勢而做功，和反抗互感電動勢做功相聯(lián)系的能量稱為互感磁能。可以證明自感線圈中儲存的磁能為Wm=1/2LI2。式中L是線圈的自感系數(shù)，I是其中通過的電流。對于空心長螺線管(近似看作無限長)，其自感系數(shù)L=μ₀n2V。式中n是單位長度上線圈的匝數(shù)，V是螺線管的體積。將上式代入自感線圈的磁能公式得Wm=1/2(μ₀n2V)I2。由公式可知自感磁能與螺線管的體積有關(guān)。長螺線管中磁場是均勻的，磁場能量應(yīng)在線圈所圍體積內(nèi)均勻分布，所以單位體積中的磁能為wm=wm/V=₁/2BH(因為B=μ0nI，H=n_l)。wm稱為磁場能量密度，簡稱磁能密度。一般寫成wm=1/2B·H。磁能密度的數(shù)學(xué)表述雖由特例推出，但可以證明它是普遍成立的。對于非均勻磁場每一點的磁能密度仍用上式表示，只是場中各點的值不同而已。在非均勻磁場中，若求磁場的總磁能，可以表述為：Wm=VwmdV=1/2V(B·H)_dV。以上所述是在穩(wěn)恒磁場中的情況，這時磁能總與電流相伴隨，把磁能看成是與電流相聯(lián)系還是儲存在磁場中，兩種觀點效果完全相同。但在變化的電磁場中，磁場可以脫離電流而存在，這種磁場也具有能量，其磁能密度的表達(dá)式仍為wm=1/2B·H。在一般情況下，變化電磁場以波的形式傳播，在傳播過程中同時也傳播著能量，所以能量儲存在磁場中的觀點是正確的。

存在于載流導(dǎo)體、永久磁體、運動電荷或時變電場等周圍空間的，以磁感應(yīng)強度表征的一種特殊形式的物質(zhì)。磁場的物質(zhì)性，可由它的如下許多特性顯示出來：磁場具有能量;磁場對運動電荷、載流導(dǎo)體有作用力;導(dǎo)線在磁場中運動或處在時變磁場中都將在導(dǎo)線中引起感應(yīng)電動勢，發(fā)電機、變壓器就是根據(jù)這一原理制成的;在磁場的作用下，磁致伸縮材料會發(fā)生變形，呈現(xiàn)磁致伸縮現(xiàn)象;將載流導(dǎo)體置于磁場中，導(dǎo)體的橫向兩側(cè)將出現(xiàn)電位差，即產(chǎn)生霍耳效應(yīng);磁場可使載流導(dǎo)體或半導(dǎo)體的電阻發(fā)生變化，即產(chǎn)生磁致電阻效應(yīng)，等等。描述磁場的基本物理量是磁感應(yīng)強度B和重要的輔助量磁場強度H。

恒定磁場和時變磁場在空間某區(qū)域內(nèi)，若各處的磁感應(yīng)強度的量值和方向都不隨時間變化，該區(qū)域中的磁場稱恒定磁場，否則稱時變磁場。時變磁場總是和時變電場相互關(guān)聯(lián)，以電磁波的形式存在。研究某一區(qū)域中的時變磁場時，若電磁波的波長遠(yuǎn)大于區(qū)域的線度尺寸，則可忽略位移電流對磁場的作用，這種時變磁場稱似穩(wěn)磁場。大多數(shù)電力設(shè)備中的時變磁場可以認(rèn)為是似穩(wěn)磁場。

均勻磁場和非均勻磁場任何時刻，若空間某區(qū)域內(nèi)各處的磁感應(yīng)強度的量值和方向都相同，稱區(qū)域中的磁場為均勻磁場，否則稱非均勻磁場。

媒質(zhì)的磁化位于磁場中的媒質(zhì)將產(chǎn)生磁化效應(yīng)。為宏觀描述媒質(zhì)的磁化狀態(tài)及其對外磁場的影響，引入了磁場強度這一概念。磁感應(yīng)強度和磁場強度的關(guān)系，常用磁化曲線表示。電機工程中，在許多場合下，只考慮鐵磁材料的磁化;非鐵磁材料的磁化很弱，一般不予考慮，即認(rèn)為這種材料的磁導(dǎo)率和真空磁導(dǎo)率相同。

磁場的基本規(guī)律磁場具有如下的基本規(guī)律。

磁通量的連續(xù)性穿過任何閉合面的磁通量等于零(見磁通量)。

磁場強度的環(huán)路積分規(guī)律磁場強度沿閉合路徑的線積分，等于穿過以該閉合路徑為周界的曲面上的全電流(見磁場強度)。

磁場的能量密度在線性媒質(zhì)中，單位體積內(nèi)的磁場能量或磁場能量密度，等于(B·H)/2。

媒質(zhì)分界面處磁場量滿足的條件在媒質(zhì)1和媒質(zhì)2的分界面上有：①媒質(zhì)1、2的磁感應(yīng)強度的法向分量B_1n、B_2n連續(xù)，即B_1n=B_2n;②媒質(zhì)1、2的磁場強度的切向分量H_1t、H_2t之差，等于分界面上的面電流密度Js(Js的方向垂直于H_1t和H_2t)，即H_1t-H_2t=Js。不存在面電流時，H_1t、H_2t連續(xù)。