非線性模型幾種非線性模型的線性化

假定根據(jù)理論或經(jīng)驗，已估計輸出變量與輸入變量之間的非線性表達(dá)式，但表達(dá)式的系數(shù)是未知的，要根據(jù)輸入輸出的n次觀測結(jié)果來確定系數(shù)的值。處理非線性回歸的基本方法是，通過變量變換，將非線性回歸化為線性回歸，然后用線性回歸方法處理。

非線性模型指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型為：

令

非線性模型對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型為：

令

非線性模型雙曲線函數(shù)模型

雙曲線函數(shù)模型為：

令

非線性模型S型曲線函數(shù)模型

S型曲線函數(shù)模型為：

令

非線性模型多項式模型

在只有一個自變量的情況下，多項式模型如下：

非線性模型是反映自變量與因變量間非線性關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。設(shè)隨機變量為Y， 若可表示為：

此結(jié)構(gòu)稱為非線性模型， 其中

非線性模型的形式多種多樣， 依建立模型的方法不同可分為：①推理模型。根據(jù)具體學(xué)科理論揭示的變量間相互關(guān)系用數(shù)學(xué)分析的方法建立模型， 如Logistic模型等，這類模型具有一定的生物學(xué)基礎(chǔ)，其參數(shù)具有確定的生物學(xué)意義。②經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀δ承┳兞繜o法推理方法得到或經(jīng)推理得到但過于復(fù)雜的變量間關(guān)系，可利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系式直接擬合變量間關(guān)系，建立純經(jīng)驗性模型，如奶牛泌乳曲線等，這類模型的參數(shù)多數(shù)沒有直接的生物學(xué)意義， 使模型的應(yīng)用受到一定的限制。

依描述變量間關(guān)系的常用數(shù)學(xué)函數(shù)形式分為：指數(shù)模型、對數(shù)模型、冪函數(shù)模型、Logistic模型、二次函數(shù)模型以及由此構(gòu)成的復(fù)合模型等。

處理非線性模型首先是建立或選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，然后是確定模型中所包含的參數(shù)， 其參數(shù)估計的基本原則仍是最小二乘估計，方法通常有三種：①變量變換法。通過某種數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換將非線性模型化為線性模型，即“曲線改直”或利用線性多項式逼近，該法簡單易行，具有一定的實用價值。②非線性回歸法。根據(jù)最小二乘原則使誤差平方和最小，對非線性模型直接求解，常用的是Gauss-Newton法及在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的Marquardt法，可通過各種迭代法直接估計模型常數(shù)，這是處理非線性模型最為常用的方法。③直接優(yōu)化法。直接利用非線性模型計算剩余平方和并以其最小為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)尋求最優(yōu)回歸系數(shù)， 常用的是單純形優(yōu)化法。

在畜牧業(yè)中非線性模型常用于研究各種變量間的非線性回歸擬合、動物生長曲線、奶牛泌乳曲線及產(chǎn)蛋曲線等。隨著計算方法及手段的極大改進(jìn)，非線性模型的應(yīng)用得到迅速發(fā)展 。

(1)Y與解釋變量不存在線。Y與未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系，但可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性叫歸模型。

例1柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)是指在一定時期內(nèi)，在技術(shù)水平不變的情況下，生產(chǎn)中所使用的各種生產(chǎn)要素的數(shù)量與所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的關(guān)系。也就是說，生產(chǎn)過程中總投入與總產(chǎn)出之間的一種函數(shù)關(guān)系。經(jīng)濟學(xué)中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(C-D生產(chǎn)函數(shù))是指產(chǎn)出表示為技術(shù)、資本和勞動投入量的函數(shù)。該生產(chǎn)函數(shù)由美國數(shù)學(xué)家柯布(C.W.Cobb)和經(jīng)濟學(xué)家保羅·道格拉斯(Paul H.Douglas)共同創(chuàng)立而得名，是經(jīng)濟學(xué)中普遍使用的生產(chǎn)函數(shù)。其形式為：

式中，Y表示產(chǎn)出；K和L分別表示資本投入和勞動力投入，A表示技術(shù)系數(shù)，

將C-D生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)對數(shù)變換。轉(zhuǎn)換為如下形式：

(2)Y與X不存在線性關(guān)系，Y與未知參數(shù)也不存在線性關(guān)系，而且也不能通過適當(dāng)?shù)淖儞Q將其化為標(biāo)準(zhǔn)的線性回歸模型。

在現(xiàn)實生活中，并非所有非線性函數(shù)形式都可以線性化，那些不能線性化的模型一般形式為：

Y與X之間存在線性關(guān)系，但是Y和參數(shù)

對于非線性回歸分析，只有參數(shù)的線性回歸分析才是重要的，因為變量的非線性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決 。

Y與X之間不存在線性關(guān)系，但Y與參數(shù)

如果解釋變量X的單位變動引起因變量的變化率

非線性模型的一般形式是：

在非線性模型預(yù)測控制中，系統(tǒng)模型是非線性的，因此，相應(yīng)的預(yù)測模型也是非線性的，設(shè)非線性系統(tǒng)的模型：

其中，

其中，i=1,2,...。

通過遞推，可以得到非線性系統(tǒng)的預(yù)測模型：

由于實際受控系統(tǒng)總包含某些不確定因素，利用上述模型預(yù)測，不能完全精確地描述對象的動態(tài)行為，因此可以在實測輸出的基礎(chǔ)上通過誤差預(yù)測和補償對預(yù)測模型進(jìn)行反饋校正。記 k 時刻測得的實際輸出為 y(k)，則可由

其中，

式中， w( k i)為 k i 時刻的期望輸出，M，P 的含義與線性預(yù)測控制相同。這樣，在線的滾動優(yōu)化就是在閉環(huán)預(yù)測（下式）的約束下，

非線性模型預(yù)測控制采用線性化方法

線性化方法是研究非線性系統(tǒng)的常規(guī)方法。將非線性系統(tǒng)局部線性化主要是為了沿用線性系統(tǒng)中已有的成果，計算簡單，實時性好。對于非線性較強的系統(tǒng)，用單個線性化模型很難反映系統(tǒng)在大范圍內(nèi)的動、靜態(tài)特性，控制品質(zhì)甚至穩(wěn)定性都難以保證。因此實際處理時，有以下三種線性化方法。

（1）將非線性機理模型在每個采樣點附近線性化，然后對線性化的模型采用線性的預(yù)測控制算法，其特點是在每個采樣時刻都采用新的模型，能盡量減小線性化帶來的誤差。但是頻繁的在線更換模型會導(dǎo)致需要反復(fù)計算相關(guān)矩陣參數(shù)，計算量加大，且不利于離線對控制器的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

（2）多模型方法。顧名思義，就是引入?yún)^(qū)間近似的思想，用多個線性化的模型來描述同一個非線性的對象。多模型方法的優(yōu)點在于可以離線的計算大部分控制參數(shù)，難點則是如何確定模型切換的時機以及保證模型切換時的平穩(wěn)性。

（3）反饋線性化（即就是 I/O 擴展線性化）的方法，即對非線性系統(tǒng)引入非線性反饋補償律，使非線性系統(tǒng)對虛擬控制輸入量實現(xiàn)線性化，便可以使用線性的 MPC方法。也有許多非線性系統(tǒng)不滿足反饋線性化的條件，使其應(yīng)用受到限制。

非線性模型預(yù)測控制利用各種特殊模型

常用的非線性模型包括 volterra 模型、Hammerstein 模型、Wiener 模型等。volterra模型為非線性對象的廣義脈沖響應(yīng)模型，可以描述一類非線性對象的輸入輸出特性，實際應(yīng)用中常采用正、負(fù)和雙階躍響應(yīng)法建立系統(tǒng)的 volterra 模型。Hammerstein 模型和 Wiener 模型都是由一個非線性的靜態(tài)子系統(tǒng)和一個線性的動態(tài)子系統(tǒng)串聯(lián)而成，二者的區(qū)別是串聯(lián)的順序不同。

非線性模型預(yù)測控制基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測控制

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以其分布式存儲、并行處理、良好的魯棒性、自適應(yīng)性、自學(xué)習(xí)性，在控制界具有廣闊的應(yīng)用前景。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠以良好的精度逼近非線性函數(shù)，且基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法具有普遍性，因此在非線性預(yù)測控制中受到重視，相關(guān)的研究成果也比較多。

關(guān)于采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測控制，存在的困難也比較多，主要是還不能有效地進(jìn)行多步預(yù)測，而通常來說多步預(yù)測的控制效果要明顯優(yōu)于單步預(yù)測。盡管將多個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)可以得到多步的輸出預(yù)測，但這樣會增加控制器的復(fù)雜程度，直接影響控制量的求解。同時，如果需要在線進(jìn)行模型辨識，那么在線的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練需要較長的時間，控制的實時性變差。

預(yù)測控制算法最初是對線性系統(tǒng)提出的。當(dāng)對象存在弱非線性時，采用這種線性預(yù)測控制算法也是十分有效的，因為弱非線性可視為一種模型失配，其影響可通過系統(tǒng)的魯棒性設(shè)計加以克服；必要時，還可通過在線辨識和自校正策略修改模型和控制律，以適應(yīng)因弱非線性而引起對象特征的變化。但是幾乎所有的實際控制系統(tǒng)都是非線性的，尤其是在實際的工業(yè)生產(chǎn)過程中，涉及的對象往往都是多輸入多輸出的復(fù)雜系統(tǒng)，具有很強的非線性，由于采用線性模型進(jìn)行預(yù)測輸出與實際偏離較大，達(dá)不到優(yōu)化控制的目的，模型線性化這一方法顯然不適用，因而必須基于非線性模型進(jìn)行預(yù)測和優(yōu)化。因此，提出了非線性模型預(yù)測控制方法。