物理系統(tǒng)量子力學(xué)系統(tǒng)

詢問一個物理實體的話，第一個問題可能就是“它在哪里？”根據(jù)日常經(jīng)驗，我們可以很精確的回答這個問題，只是要受測量儀器質(zhì)量的限制。在極小物體的這個范圍，有某些基本的限制，必須用量子力學(xué)來回答那個問題。

從核心上說量子力學(xué)涉及能量。由于質(zhì)量和能量的等價性（想一想愛因斯坦的著名公式，其中c是光速米/秒），量子力學(xué)還涉及有質(zhì)量的粒子。由于光子能量和其頻率之間的關(guān)系（E=hv，其中h是普朗克常數(shù)，焦－秒），量子力學(xué)還涉及到光子。

根據(jù)量子力學(xué)，“它在哪兒”這個問題不能確定地回答。那我們?nèi)绾翁幚磉@個不確定性呢？用分配概率的方法。由于空間的連續(xù)性質(zhì)和其范圍上的無限性，這有一點復(fù)雜，但對于事件的無限集合來說處理思想是一樣的。概率密度非負(fù)，它對全體空間的積分為1（這就像所有互斥且完備的事件的概率之和等于1）。

所以在量子力學(xué)里，一個物體用隨時間演變的一個“概率點”來表示。它怎么演變呢？基本的方程不是根據(jù)概率密度寫出的，而是根據(jù)空間和時間的另一個函數(shù)寫出的，由它可以求出概率密度。

考慮一下概率密度的平方根，把它看作是空間和時間的一個函數(shù)。這樣為了增加一些一般性，令平方根可正可負(fù)—將其平方就得到概率密度，每個人都會。下一步，為了更大的一般性，使這個平方根在復(fù)平面內(nèi)有任意的相角，這樣它就有了實部和虛部。我們不再叫它平方根，而是“波函數(shù)”，它使空間r和時間t的一個函數(shù)。概率密度就是波函數(shù)絕對值的平方),(trΨ ),(),(),(2trtrtrΨΨ=Ψ"para" label-module="para">

其中星號"para" label-module="para">

前面涉及概率時，我們從沒有根據(jù)什么初等概念表示它們。為什么需要這樣做呢？因為量子力學(xué)的基本方程涉及。為什么？別這么問。這只是量子力學(xué)眾多怪異性質(zhì)中的一個。),

量子力學(xué)的基本方程是薛定諤方程，它由奧地利物理學(xué)家(1887-1961)發(fā)現(xiàn)。ErwindingeroSchr&&1 ),()(),(2),(222trrVtrmttriΨ Ψ"para" label-module="para">

其中i是（虛數(shù)的）-1平方根，m是物體質(zhì)量，是勢能函數(shù)，它的空間梯度是作用在物體上的力的復(fù)數(shù)，)(rV3410054.12"_blank" href="/item/拉普拉斯算子/7261323" data-lemmaid="7261323">拉普拉斯算子定義為2"para" label-module="para">

其中x，y和z是三個空間維度。

這個方程一般通過把它乘以再對空間積分來解釋。然后左側(cè)視為全部能量，右側(cè)視為動能和勢能之和（假設(shè)波函數(shù)被規(guī)范化，這樣),(tr"para" label-module="para">

這個方程令人迷惑地簡單。它是),(trΨ的線性方程，就是說如果1和2是解，那么它們?nèi)我庖粋€線性組合也是解2211Ψ Ψ=Ψααtotal （11.4）

其中1α和2α是復(fù)常數(shù)（如果這個線性組合得到是一個有效的概率分布，那么1α和2α的值必須是使2),(trΨ的空間積分為1的那樣的值）。然而，除了最簡單的情況以外，這個方程不能以閉合形式解得。)(rV

嚴(yán)格地說，該方程只有在物體在整個宇宙中討論時才真的正確，這種情況下因為太復(fù)雜方程就沒有用了。但是，它通常用做近似情況，這時把宇宙看作兩部分——正計算其波函數(shù)的一個小的部分（該物體）和剩余的宇宙（“外界環(huán)境”），它對物體的影響被假定用表示。注意這個物體可能是一個單個的光子、一個電子或兩個以上的例子，即它不必符合單個粒子的正規(guī)概念。)(rV

一個物體會與它的外界環(huán)境互相影響。很自然地，如果一個物體改變了它的環(huán)境（如果要測量物體的某個屬性時就會發(fā)生），那么環(huán)境就會改變這個物體。量子力學(xué)的一個很有趣的結(jié)論是測量了一個物體某個屬性后，它通常會有一個不同的波函數(shù)，結(jié)果就不能確定物體以前的某些屬性。

物理系統(tǒng)靜止?fàn)顟B(tài)

盡管對于一個給定的，薛定諤方程可能不能用閉合形式解出，但是不知道解的細(xì)節(jié)仍可以說出解的很多性質(zhì)?？紤]一些特定形式的解，一個空間函數(shù)與另一個時間函數(shù)的乘積。從薛定諤方程很容易表明對于某個實數(shù)E（實數(shù)是因為否則（r，t）就會在非常大的或小的時間內(nèi)無限地變化）這種波函數(shù)能有的最一般的形式為)(rV

（11.5） η/)(),(iEtertr"para" label-module="para">

其中)(rφ符合方程（不包括時間） )()()(2)(22rrVrmrEφφφ "para" label-module="para">

對任意值E不能得到)(rφ的非零解。可能在E的某個范圍內(nèi)可以，只含有特別離散值E的其他范圍會得到非零波函數(shù)。一般地說，對應(yīng)于離散值E的這些解會變得非常?。此鼈儭霸跓o窮遠(yuǎn)處消失”），因此盡管它們有多于一個的“概率點”，它們還是會在空間中停下來。

這些解被稱為“靜止?fàn)顟B(tài)”，因為波函數(shù)的量（所以概率密度也是如此）不能隨時間而變化；它只是空間的函數(shù)。

對靜止?fàn)顟B(tài)，E有一個很有趣的解釋。如果我們用乘以這個方程，再對空間積分，可以看到（就像上一節(jié)中的一樣）E是右面兩項的和，即物體的動能和勢能。所以E是和那個解相關(guān)的全部能量。)(r"para" label-module="para">

有這樣勢能的薛定諤方程的大多數(shù)解都沒有這種形式。但是不要忘了薛定諤方程的解的任意一個線性組合仍是一個解。我們可以把這些靜止?fàn)顟B(tài)當(dāng)作積木生成更一般的解。)(rV

我們對停在空間中一點的靜止?fàn)顟B(tài)非常感興趣，所以盡管可能有很多（甚至是一個可數(shù)的無限值），但E的允許值是離散的。如果我們令j為靜止?fàn)顟B(tài)的一個索引，那么就可能定義結(jié)果波函數(shù)使得它們都被規(guī)范化和“正交化”，前者就是說每個波函數(shù)絕對值的平方對空間的積分是1，后者就是說當(dāng)在全部空間積分時，任何一個波函數(shù)和其他波函數(shù)復(fù)數(shù)共扼乘積為0。我們就可以用表示E的值，把它解釋為與那個狀態(tài)相聯(lián)系的能量。),(trjΨje

這樣薛定諤方程的一般解就寫作靜止?fàn)顟B(tài)的線性組合Σ"para" label-module="para">

其中jα是擴(kuò)展系數(shù)，可能是復(fù)數(shù)。如果波函數(shù)),(trΨ被正交化，則很容易表示為

Σ=jj21α （11.8）

與該函數(shù)相關(guān)的能量可以用寫作je 2Σjjjeα （11.9）

從這些關(guān)系式我們可以觀察出2jα的性質(zhì)類似一個事件的概率分布，這些事件有被占用的各個狀態(tài)組成，這個概率分布可用于計算與物體相關(guān)的平均能量。

我們對量子力學(xué)簡單的學(xué)習(xí)得出的結(jié)論可以證明下一節(jié)中給出的多狀態(tài)模型。那些想不通過任何解釋就接受這個模型的讀者跳過了前面兩節(jié)，重新和我們走到了一起。

物理系統(tǒng)多狀態(tài)模型

我們用前兩節(jié)對量子力學(xué)的簡單討論證明了一個物理實體的模型，模型如下。物體有一個波函數(shù)，它原則上對時間描述物體的行為。這個波函數(shù)可能很難或不可能計算，當(dāng)物體與外界環(huán)境互相影響時，它可能會以某種無法預(yù)測的方式改變。Ψ

物體有有限多個（或者可數(shù)的無限值）更容易計算的“靜止?fàn)顟B(tài)”（盡管對復(fù)雜物體，仍不可能求出它們）。每個靜止?fàn)顟B(tài)都有自己的波函數(shù)jΨ，其中j時靜止?fàn)顟B(tài)的索引。如果物體實際的波函數(shù)是這些靜止?fàn)顟B(tài)（即，如果這個狀態(tài)被“占用”）中的一個，那么物體很明確地處在那個狀態(tài)（或者直到它與其外界環(huán)境互相影響）。每個靜止?fàn)顟B(tài)都有自己的能量，可能還有感興趣的其他物理量的值。je

該物體的波函數(shù)可以表示為靜止?fàn)顟B(tài)的一個線性組合，形式為ΣΨ=Ψjjjα （11.10）

其中jα是復(fù)數(shù)，稱為擴(kuò)展系數(shù)。如果物體處于一個靜止?fàn)顟B(tài)，則除了一個以外，所有的jα為0。不失一般性擴(kuò)展系數(shù)可以這樣定義：它們絕對值的平方的和為1： Σ=jj21α （11.11）

對物體性質(zhì)的測量（比如能量）涉及到和物體外界環(huán)境的相互影響，還有環(huán)境的變化（如果這正是記錄結(jié)果的理由）。量子力學(xué)的結(jié)果是如果物體處于一個靜止?fàn)顟B(tài)，測量它的能量，那么測量結(jié)果是簡單的那個狀態(tài)的能量，狀態(tài)不會改變（即擴(kuò)展系數(shù)不會因為測量而改變，除了一個以外所有的擴(kuò)展系數(shù)為0）。從另一方面講，如果物體不處于靜止?fàn)顟B(tài)，那么測量結(jié)果是一個靜止?fàn)顟B(tài)的能量，物體馬上會假定那個就是靜止?fàn)顟B(tài)。這樣在每次測量后，物體就會處于一個靜止?fàn)顟B(tài)。哪個狀態(tài)？狀態(tài)j的概率是被選擇的是2jα的那個。這樣實驗測量能量的期望值是Σjjje2α

其中是與靜止?fàn)顟B(tài)j相關(guān)的能量。因此量子力學(xué)中的測量就不像是日常物體的測量，日常測量中假設(shè)能量或其他物理性質(zhì)不能以任意精度測量，這樣的測量不會攝動該物體。量子測量的這個性質(zhì)是量子力學(xué)諸多性質(zhì)中的一個，盡管它可能不符合日常生活中的直覺，但必須要接收它。2100433B

要執(zhí)行信息存儲、傳遞或處理的物體應(yīng)該避免誤差，誤差是與外界環(huán)境進(jìn)行不可能預(yù)測的互相影響時固有的。處理信息的最簡單的物體需要兩個狀態(tài)。一位信息可以關(guān)聯(lián)系統(tǒng)占用哪個狀態(tài)。有多于兩個狀態(tài)的更復(fù)雜的物體可以表示多于一位的信息。

量子信息系統(tǒng)，包括計算機(jī)和通信系統(tǒng)。

一個要進(jìn)行能量存儲、轉(zhuǎn)移和轉(zhuǎn)化的物體一定有幾種可能的狀態(tài)。這樣的物體通常由大量（比如阿伏加德羅常數(shù)）相似或相同的粒子組成，所以由大量的靜止?fàn)顟B(tài)。薛定諤方程不能處理這種情況。為了傳輸能量或從外界獲取能量需要經(jīng)常與外界互相影響。不可能知道系統(tǒng)是否處于一個靜止?fàn)顟B(tài)，甚至是如果知道了，那么與外界環(huán)境不可預(yù)測的互相影響很快地會使得這種知識毫無關(guān)聯(lián)。231002.6×106-19=AN

對這種系統(tǒng)最多能做的就是處理各個占用的靜止?fàn)顟B(tài)的概率能量E的期望值是Σ=eE

用這種方法建立起這個模型，它很適合應(yīng)用最大熵原理估算所占用的概率分布。本講義的下一章會繼續(xù)這個主題。

量子力學(xué)很怪異。好像沒有方法使它呈現(xiàn)出別的樣子。它的很多預(yù)言都與日常經(jīng)驗的預(yù)期不一致。

量子力學(xué)很神秘，即使是對非常好的物理學(xué)家也是如此。人們對它的方程和方法基本思想和解釋有爭議。

量子力學(xué)很難應(yīng)用。需要相對高級的數(shù)學(xué)技巧。即使是線性的，那基本方程仍是一個偏微分方程，除了在少數(shù)非常簡單的情況下，無法用解析的方法求出。通常數(shù)字解是必須的。

就像其他物理理論一樣，量子力學(xué)需要在建模和數(shù)學(xué)方法的技巧與判斷力。在研究生或高年級本科階段并不曾有什么講授。

量子力學(xué)以不同的形式出現(xiàn)。有很多可以替換的闡述。這些闡述通常是等價的，就是說

它們得出相同的實驗結(jié)果，但它們并不同樣地易于學(xué)習(xí)或用于特定用途。

根據(jù)這些性質(zhì)，為什么量子力學(xué)這么重要呢？因為它確實有效。它是唯一的基礎(chǔ)物理理論可以應(yīng)用于如此廣泛的領(lǐng)域。它的預(yù)言已經(jīng)反復(fù)地被實驗證明。它適用于日常的物體，適用于天體（盡管通常情況下對它們并非必需）。它適用于原子級尺寸的物體、電磁波和亞原子物體。有一種說法是它與狹義相對論相一致。唯一沒有處理得很好的物理現(xiàn)象就是重力；量子力學(xué)還沒有擴(kuò)展到與廣義相對論一致的程度。

本講義中我們不涉及這么深層次的量子力學(xué)。為了研究物理系統(tǒng)中的信息處理，我們只需要理解這些系統(tǒng)具有的一少部分性質(zhì)。特別地，我們需要一個物理系統(tǒng)的模型，它有很多種可能的狀態(tài)，每種狀態(tài)都伴隨著系統(tǒng)實際處于狀態(tài)（即，該狀態(tài)“被占用”）的概率。這些狀態(tài)都有與之相關(guān)的物理性質(zhì)，能量就是其中之一。量子力學(xué)把這個模型合理化了。

我們把這個模型用在兩種情況。第一種（如下）有很多種狀態(tài)，目的是理解與這些狀態(tài)相關(guān)的信息如何影響能量流。第二種（在本講義中后面的章節(jié)中）有很少的狀態(tài)，用占用這些狀態(tài)表示信息，目的是理解量子力學(xué)施予的限制和機(jī)會。

下面的兩節(jié)名為“量子力學(xué)概述”和“靜止?fàn)顟B(tài)”，已經(jīng)準(zhǔn)備好在沒有證明的情況下接受狀態(tài)模型的讀者可以跳過這兩節(jié)。他們直接可以跳到“多狀態(tài)模型”這一節(jié)。其他的讀者仔細(xì)得學(xué)習(xí)這兩節(jié)，可以得到一些關(guān)于如何從量子考慮得出這個模型的提示，在這個過程中也許會理解量子力學(xué)的某些方面，可以使它不那么神秘。

我們忽略了物理系統(tǒng)的很多方面，只涉及比如信息這樣的抽象概念。盡管假設(shè)每個存儲或傳輸?shù)奈欢荚谀硞€物理實體中說明，但我們集中討論抽象位而忽略了物理定律施加的任何限制。這是信息時代的主要的隱患。

以前不是那樣的，將來也不是。在過去的幾個世紀(jì)，信息的物理表示非常重要，因為它成本很高。為了保存或發(fā)送信息，需要寫成書或者甚至把字刻到石頭上。比如試想一下中世紀(jì)制造書稿的過程。頁面的復(fù)制和加入插圖都很困難。成品以其藝術(shù)性和文化重要性被人們羨慕，部分是因為制造起來非常昂貴——社會只能承受將最重要的信息記錄，而與其他制造成本相比一流的藝術(shù)品的成本并不是非常高。

多年的進(jìn)步提高了信息存儲和傳輸?shù)男省囅胍幌掠∷⑿g(shù)、電報、電話、無線電廣播、電視、數(shù)字信號處理、半導(dǎo)體、光線。這些東西造就了使能的復(fù)雜系統(tǒng)，諸如計算機(jī)、數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)，甚至造就了為娛樂創(chuàng)作和分配的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。隨著數(shù)據(jù)處理成本的下降，應(yīng)當(dāng)考慮與制造、維護(hù)和利用信息的成本相比可以忽略不計的領(lǐng)域了。就在這個領(lǐng)域信息論的抽象概念、位、編碼和所有計算機(jī)科學(xué)占據(jù)著主流。社會的各個領(lǐng)域都處理著日益增加的可用的信息量。甚至由于信息處理的經(jīng)濟(jì)的變化著作權(quán)、版權(quán)、專利權(quán)和交易機(jī)密的思想都在更新。這就是信息時代。

與其物理實體分開的信息的模型當(dāng)然是實際情況的一個近似。隨著我們制造的微電子系統(tǒng)越來越復(fù)雜、使用越來越小的組建，我們最終會面臨基本的限制，它并非來自制造微結(jié)構(gòu)的能量，而是來自物理學(xué)的基本定律。支配所有物理系統(tǒng)的這個基本定律就是量子力學(xué)。

這個重要概念我們用了這么長的時間，以至于需要重新解釋量子力學(xué)有哪些重要領(lǐng)域

那些可以在小的擾動下存儲信息的設(shè)備使得數(shù)字抽象成為了可能

面對不確定性，用概率表示我們的知識

最大熵原理作為一個方法可以無偏差地估計概率值.

根據(jù)土壤中礦物顆粒組合特點將土壤分為若干類型的檢索系統(tǒng)。常見的有：

國際制分類系統(tǒng) 　該系統(tǒng)將土壤質(zhì)地分為 4組（砂土、壤土、粘壤土和粘土）13級，并按等邊三角表進(jìn)行檢索（圖 2）。其方法是：①以粘粒含量為主要標(biāo)準(zhǔn)25%為粘土組。②當(dāng)土壤含粉粒達(dá)45%以上時，在各組質(zhì)地的名稱前均冠以“粉質(zhì)”。③當(dāng)砂粒含量在55～85%時，則冠以“砂質(zhì)”；如超過85%，則稱為壤質(zhì)砂土，其中砂粒達(dá)90%者稱砂土。 　美國制分類系統(tǒng) 　與國際制基本相似，所不同的是它將土壤質(zhì)地分為4組12級（圖3）。 　蘇聯(lián)制分類系統(tǒng) 　由蘇聯(lián)卡欽斯基擬定，采用雙級分類制，即按物理性砂粒和物理性粘粒含量將土壤質(zhì)地分為 3組9級（表2）。

除上述3個分類系統(tǒng)外,還有些國家結(jié)合自己國家土壤的特點制訂了各自的土壤質(zhì)地分類系統(tǒng)。

模擬復(fù)雜構(gòu)造，基于模型的三維觀測系統(tǒng)設(shè)計，含油、水、氣模型制作和采集，三分量采集，裂縫物理模型制作和采集等。 2100433B

幕墻物理性能檢測。 2100433B