相似矩陣內容要點

定義1設A,B都n是階矩陣, 若存在可逆矩陣P,使

P^(-1)AP=B,

則稱是的相似矩陣, 并稱矩陣與相似.記為.

對進行運算稱為對進行相似變換, 稱可逆矩陣為相似變換矩陣.

矩陣的相似關系是一種等價關系，滿足：

(1) 反身性: 對任意階矩陣,有相似;

(2)對稱性: 若相似, 則與相似;

(3) 傳遞性: 若與相似, 則與相似.

(1) ;

(2) , 其中為任意實數.

定理1若n階矩陣A與B相似,則A與B的特征多項式相同,從而A與B的特征值亦相同.

相似矩陣的其它性質:

(1) 相似矩陣的秩相等;

(2) 相似矩陣的行列式相等;

(3) 相似矩陣具有相同的可逆性, 當它們可逆時,則它們的逆矩陣也相似.

定理2n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個線性無關的特征向量.

注: 定理的證明過程實際上已經給出了把方陣對角化的方法.

推論1若n階矩陣A有n個相異的特征值,則A與對角矩陣

相似.

對于n階方陣A,若存在可逆矩陣P, 使為對角陣, 則稱方陣A可對角化.

定理3n階矩陣A可對角化的充要條件是對應于A的每個特征值的線性無關的特征向量的個數恰好等于該特征值的重數. 即設是矩陣A的重特征值, 則

A與相似。

若矩陣可對角化，則可按下列步驟來實現:

(1) 求出的全部特征值;

(2) 對每一個特征值,設其重數為,則對應齊次方程組

的基礎解系由個向量構成, 即為對應的線性無關的特征向量；

(3) 上面求出的特征向量

恰好為矩陣的個線性無關的特征向量;

(4) 令, 則

1．利用矩陣對角化計算矩陣多項式

定理4設是矩陣A的特征多項式,則.

2．利用矩陣對角化求解線性微分方程組

3．利用矩陣對角化求解線性方程組

在某城市有15萬具有本科以上學歷的人,其中有1.5萬人是教師,據調查,平均每年有10%的人從教師職業(yè)轉為其他職業(yè),又有1%的人從其他職業(yè)轉為教師職業(yè),試預測10年以后這15萬人中有多少人在從事教師職業(yè).

定義2在n階矩陣A中, 形如的矩陣稱為約當塊.

若一個分塊矩陣的所有子塊都是約當塊, 即

中都是約當塊,則稱J為約當形矩陣,或約當標準形.

注:對角矩陣可視為每個約當塊都為一階的約當形矩陣.

定理5對任意一個n階矩陣A,都存在n階可逆矩陣T使得

即任一n階矩陣A都與n階約當矩陣J相似.

例題選講：

例1 (講義例1)設有矩陣 試驗證存在可逆矩陣, 使得A與B相似.

例2

容易算出A與B的特征多項式均為但可以證明A與B不相似. 事實上,A是一個單位陣, 對任意的非異陣P有

因此若B與A相似,B也必須是單位陣, 而現在B不是單位陣.所以A與B不相似

例3 (講義例2)試對矩陣驗證前述定理2的結論.

例4 (講義例3)試對矩陣驗證定理2的結論.

注: 本例子說明了A的特征值不全互異時,A也可能化為對角矩陣.

例5 (講義例4)判斷矩陣能否化為對角陣.

例6 (講義例5)設 問為何值時, 矩陣能對角化?

例7下列矩陣是約當型矩陣(虛線是為了更清楚地表示分塊情況而加上去的):

(4); (5)

(4)是一個對角陣, 它可看成是由4個1階約當塊組成的約當型矩陣. 一般來說, 一個n階對角陣可看成為由n個1階約當塊組成的約當型矩陣. 也就是說對角陣是約當型矩陣的特殊情況.

(5)是由3個約當塊組成的約當型矩陣, 其中左上角一塊是一個1階零矩陣, 它也是一個約當塊.

例8下列矩陣不是約當型矩陣:

(1); (2);

(3); (4).

(1)中, 右下方一塊主對角線上元素不相同, 因此不是約當塊.

(2)的主對角線上元素不相同.

(3)的右下方一塊主對角線上方的元素是而不是1, 因此也不是約當塊.

(4)的右下方一塊主對角線上方的元素是而不是1, 因此也不是約當塊.

例9設矩陣

可求出它的特征值為2,1,1. 又可用解線性方程組的辦法求出A的線性無關的特征向量有2個:

其中是關于特征值2的特征向量, 是關于特征值1的特征向量. 由于A的線性無關的特征向量個數為2, 小于A的階數, 所以A不可能相似于一個對角陣. 但可以證明A與下列約當型矩陣J相似:

設A，B和C是任意同階方陣，則有：

(1)A~A

(2) 若A~B，則B~A

(3) 若A~B，B~C，則A~C

(4) 若A~B，則r(A)=r(B)，|A|=|B|

(5) 若A~B，且A可逆，則B也可逆，且B~A。

(6) 若A~B，則A與B有相同的特征方程，有相同的特征值。

若A與對角矩陣相似，則稱A為可對角化矩陣，若n階方陣A有n個線性

無關的特征向量，則稱A為單純矩陣。

內容分布圖示

★ 相似矩陣與相似變換的概念

★ 相似矩陣的性質

★ 矩陣與對角矩陣相似的條件

★ 矩陣對角化的步驟

★ 矩陣可對角化的條件

★ 矩陣對角化的應用

★ 約當形矩陣的概念

設A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.

("P^(-1)"表示P的-1次冪,也就是P的逆矩陣, "*" 表示乘號, "~" 讀作"相似于".)