圓周角定理定理證明

已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證:∠BOC=2∠BAC.

證明:

情況1:

如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時:

∵OA、OC是半徑

解:∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO(等邊對等角)

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

情況2:

如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時:

連接AO，并延長AO交⊙O于D ∵OA、OB、OC是半徑

解:∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO(等邊對等角)

∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和)

∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和)

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

情況3:

如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時: 連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OA,OB。

解:∵OA、OB、OC、是半徑

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)

∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和)

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和)

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圓心角等于180度的情況呢?

看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，

顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2

∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA+∠OCB=(∠BOC+∠ABC)/2=90度

所以2∠ACB=∠AOC

圓心角大于180度的情況呢?

看情況3的圖，圓心角是(360度-∠AOB)，圓周角是∠ACB，

只要延長CO交園于點E，由圓心角等于180度的情況可知∠CAE=∠CBE=90度

所以∠ACB+∠AEB=180度，即∠ACB=180度-∠AEB

由情況2可知:∠AOB=2∠AEB

所以360度-∠AOB=2(180度-∠AEB)=2∠ACB

圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。

1.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;

2.圓周角的度數等于它所對的弧度數的一半;

3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等。

4.半圓(直徑)所對的圓周角是直角。

5.90°的圓周角所對的弦是直徑。

注意:在圓中，同一條弦所對的圓周角有無數個。

已知:如圖直線ABP和CDP是自點P引的⊙O的兩條割線

求證:PA·PB=PC·PD

證明:連接AD、BC∵∠A和∠C都對弧BD

∴由圓周角定理，得 ∠DAP=∠BCP

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP (如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。)

∴AP:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

既然圓內接四邊形定理可以從割線定理而得，那么或許割線定理就可以從圓內接四邊形定理而得。

如圖所示。

已知:從圓O外一點P引兩條圓的割線，一條交圓于A、B，另一條交圓于C、D

求證:AP·BP=CP·DP

證明:連接AC、BD

由圓內接四邊形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°(平角的定義)

∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP(同角的補角相等)

∴△ACP∽△DBP(兩角對應相等的三角形相似)

∴AP/DP=CP/BP(相似三角形對應邊成比例)

∴AP·BP=CP·DP(比例基本性質)

根據切割線定理求證。

已知:從圓O外一點P引兩條圓的割線，一條交圓于A、B，另一條交圓于C、D

求證:AP·BP=CP·DP

過點P作圓O的切線，記切點為T

由切割線定理可知:AP·BP=PT2，CP·DP=PT2

∴AP·BP=CP·DP