CAD中變次數(shù)B樣條的性質及其應用的研究項目摘要

本項目研究變次數(shù)B樣條的性質及其在CAD中的應用. 與B樣條相比, 變次數(shù)B樣條的優(yōu)點突出, 困難也突出. 優(yōu)點是: 在保持B樣條的優(yōu)點的條件下, 不用高次多項式表示低次多項式, 可以減少冗余數(shù)據(jù), 節(jié)省計算量. 困難是這類基不能用現(xiàn)有方法構造. 因此其研究過程是新方法的創(chuàng)造過程, 是原創(chuàng)性研究經(jīng)驗的積累過程. 本項目旨在創(chuàng)造新方法,克服困難, 為變次數(shù)B樣條建立一套與B樣條理論相類似的理論框架, 使其成為CAD系統(tǒng)中造型的新標準. 首先, 從基的構造入手, 要為其構造一組具有權性、全正性、局部支撐性的B基, 并深入發(fā)掘這組基的重要性質. 接著, 研究以這組B基表示的變次數(shù)B樣條曲線曲面的構造方法以及CAD系統(tǒng)所期盼的重要幾何性質, 為其在CAD系統(tǒng)中的應用提供理論基礎. 最后, 研究變次數(shù)T樣條的構造方法, 并編制變次數(shù)B樣條(T樣條)一系列重要算法,將其納入CAD造型軟件. 2100433B

用樣條構造復雜幾何模型是當今CAD發(fā)展面臨的一大挑戰(zhàn)。應對挑戰(zhàn)的出路是建立新的幾何數(shù)學模型，點集B樣條應運而生。點集B樣條具有能在任意點集上定義，與點集三角化無關，亦無需添加輔助節(jié)點等優(yōu)點，它還包含一元B樣條為特殊情況。因此，點集B樣條能克服張量積B樣條和以往非張量積樣條的缺點，其構造復雜曲面的潛力是突出的。本項目首先深入研究基于Delaunay結構的單形樣條空間的逼近性質并提出有效算法。其次，總結已有樣條的構造經(jīng)驗，提出新的點集B樣條空間。該空間要可以在任意點集上定義，其中包括重節(jié)點和均勻節(jié)點的情況，基函數(shù)要具有權性與線性無關性等基本性質。再次，要設計點集B樣條的高效求值、求導、求積等應用算法，發(fā)揮其可以在任意點集上構造曲面的特點，建立富有特色的理論體系。最后，將點集B樣條理論初步用于解決地球科學中的重力場重構問題，推動學科間的交叉合作，使點集B樣條在CAD、地球科學等領域中發(fā)揮作用。

構造適合復雜幾何造型的幾何模型是當今樣條理論發(fā)展急需解決的問題之一。本項目深入研究了基于Delaunay結構的單形樣條（DCB樣條）的性質，首次提出了DCB樣條在球面參數(shù)域上的推廣，設計了球面域上定義的樣條函數(shù)節(jié)點子集的高效計算方法與自適應的節(jié)點插入方法；推廣了DCB樣條的構造，克服了DCB樣條控制頂點幾何意義不明確的缺點，設計了兩種幾何直觀性強的點集B樣條曲面構造方法，并提出有效的計算方法。一是從三角網(wǎng)格出發(fā)構造連續(xù)的有理樣條曲面的方法，得到的曲面以輸入的三角網(wǎng)格為控制網(wǎng)格，其形狀與控制網(wǎng)格相近，且可通過直接調整控制頂點位置來修改；二是從點集上直接定義樣條函數(shù)，通過增加適當?shù)妮o助控制頂點，使得到的點集B樣條曲面的控制網(wǎng)格具有三角網(wǎng)格的拓撲結構。深入研究了新的點集B樣條的理論及算法，將其應用于解決三維離散數(shù)據(jù)的擬合等問題。在數(shù)據(jù)擬合的應用中，優(yōu)化了點集B樣條的節(jié)點集合的選取方法，使得樣條空間的構造依據(jù)擬合數(shù)據(jù)的潛在信息，如幾何特征、擬合誤差等來構造，從而使得點集B樣條曲面在構造幾何特征等方面比DCB樣條具有優(yōu)勢。深入研究了點集B樣條節(jié)點設置的變分方法理論，將其思想推廣到二維、三維空間及一般流形曲面上，用于高質量的網(wǎng)格生成、分片函數(shù)逼近等問題。 2100433B

本項目圍繞綜合性樣條的特性，對CAD中的曲線曲面進行了深入而廣泛的研究，發(fā)展了若干經(jīng)典理論，提出了新方法。 在曲線研究方面，注重發(fā)揮綜合性樣條的多樣性和簡便性的特性，也重視發(fā)掘它的幾何特性。首先，吸取了Lengdre理論的精華，把以Bernstein函數(shù)為基礎的正交多項式的構造方法，加以深化，并將其推廣到綜合性樣條，用作構造以綜合性的UE-Bézier基為基礎的擬Lengdre正交多項式；再推廣到B樣條空間，用作構造以樣條函數(shù)為基礎的具有顯式表示的一組Lengdre型的正交基，從而豐富了Lengdre方法的內容。其次，從提取多項式全正性的幾何要素著手，運用幾何方法，發(fā)現(xiàn)了NUAT-B樣條、綜合性UE樣條都具有全正性，進而具有近乎嚴格的全正性，并給出了簡單、直觀、初等的證明方法，從而擴大了全正基的范圍，充實了全正性的理論。用變次數(shù)B樣條的觀點，審視C-B樣條和綜合性UE樣條曲線的升階過程，提出了升階算子，由此克服升階不能分段進行的困難，揭示其間隱含幾何意義，解決了升階矩陣的二對角隨機矩陣的分解難題，為矩陣的分解提供了直觀的有效的幾何方法等。 在曲面研究方面，著重研究了用非多項式的函數(shù)構造三角域上曲面時所需要的定義空間，在三角域上建立多類型的三角曲面片理論，以改變僅用二元多項式表示Bézier三角曲面片的局面。首先，把定義P-Bézier基函數(shù)的一元三角函數(shù)線性空間，推廣到二元函數(shù)，構造二元的線性三角函數(shù)的空間，建立具有權性、對稱性、邊界性的二元線性擬P-Bézier型的基函數(shù)。由此，定義邊界是P-Bézier曲線的擬P-Bézier型的三角曲面，使得能用控制網(wǎng)格的方法表示三角域上由三角函數(shù)刻劃的曲面片。接著，把四階C-Bézier基的一元混合函數(shù)定義空間，也推廣到二元混合函數(shù)，構造了一組與二元三次Bernstein多項式有相同的權性，端點性的基函數(shù)，從而定義了三角域上的四階擬Bézier曲面，可以插值角點，無需用有理的形式，以圓弧作邊界，克服了Bézier三角曲面的不能表示圓弧邊界不足。又進一步為了球的表示，將二元線性擬P-Bézier型基發(fā)展為P-Bézier型的三角域上的五階的P-Bézier基，可以用三角形的控制網(wǎng)格表示球面片和整個球。 此外，在極小曲面、PH曲線、變次數(shù)樣條顯式表示、迭代逼近算法、圖像處理、圖形模擬等方面開展了研究，取得了不少成果。 2100433B