回旋線最本質(zhì)的特點就是

為了確定上式的正負(fù)號，需要對曲率的正負(fù)號取值做個約定

緩和曲線曲率符號

數(shù)學(xué)上曲率的定義為

，即曲率是前進(jìn)方位角T隨弧長l的變化率。

在

的情況下，若
則k取正值，若
則k取負(fù)值。

下圖分四種情況，對曲率的正負(fù)號取法進(jìn)行了說明：

曲率半徑是曲率的倒數(shù)，其符號與曲率一致。

緩和曲線曲率變化率

公式

中，參數(shù)A無法反映出曲率隨弧長增大，到底是增大還是減?。繛榇艘氤Ａ縜，它滿足下式

a就是曲率變化率，它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)。

a與A的關(guān)系滿足公式

為了說明a的符號，以及它與A的關(guān)系，請見下圖

在測量坐標(biāo)系下K0 000處的曲率為-1/100(左轉(zhuǎn)為負(fù))，K0 150處的曲率為1/50（右轉(zhuǎn)為正）?？芍?

曲率變化率

參數(shù)

在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系下K0 000處的曲率為1/100(左轉(zhuǎn)為正)，K0 150處的曲率為-1/50（右轉(zhuǎn)為負(fù)）。可知：

曲率變化率

參數(shù)

緩和曲線微分方程通解

求解微分方程

可得

曲率k隨樁號L變化的函數(shù)為

。當(dāng)
時

前進(jìn)方向T隨樁號L變化的函數(shù)為

。當(dāng)
時

坐標(biāo)隨樁號L變化的函數(shù)為（用到了復(fù)數(shù)）：

當(dāng)

時

特別的，當(dāng)

時

緩和曲線微分方程特解

當(dāng)

時，令
，則

這個特解與通解相比，簡化了不少。它的含義其實就是在曲率為零的地方建立坐標(biāo)系。如下圖所示，在直緩點建立了坐標(biāo)系：

x軸是回旋線的切線，其正方向是樁號增加方向；y軸是回旋線的法線，在x軸的左邊就是數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，在x軸的右邊就是測量坐標(biāo)系。

從原點開始沿回旋線行走距離

，到達(dá)點P，其坐標(biāo)為(x，y)。

點 P 處的切線與軸夾角為

，稱其為切線角，也是點 P 處的前進(jìn)方位角。

原點與點 P 的連線叫弦，其長度為c，也就是弦長。

原點到點 P 的方位角為

，也就是偏角，也叫弦切角。

點 P 處，切線與弦線的夾角為

從原點開始沿回旋線行走距離

，到達(dá)緩圓點HY，即回旋線的長度為

圓曲線的半徑為R

在緩圓點處達(dá)到最大值

接下來，計算各個參數(shù)：

曲率變化率

參數(shù)

曲率

曲率半徑

切線角

最大切線角

坐標(biāo)

弦長的計算公式如下：

弦切角的計算公式如下：

注意：

亦即弦切角近似的等于切線角的三分之一。

緩和曲線要素

回旋線的曲線要素計算公式如下：

緩和曲線道路正算

回旋曲線段，根據(jù)樁號 L，距中 Z，計算前進(jìn)方向 T 及坐標(biāo) x，y的公式如下：

上式需要一個起算點，即需要知道樁號

處的
。也可以從曲率為零的點開始起算，根據(jù)
可知：當(dāng)
時曲率為零。
是回旋線上任意一點的樁號和曲率。

距中 Z 的正方向是前進(jìn)方向 T 加上90°，因此：

在數(shù)學(xué)坐標(biāo)系下，距中 Z 左正右負(fù)，即在回旋線沿樁號增加方向右側(cè)取負(fù)值；

在測量坐標(biāo)系下，距中 Z 左負(fù)右正，即在回旋線沿樁號增加方向左側(cè)取負(fù)值。

緩和曲線造價信息

市場價 信息價 詢價
材料名稱 規(guī)格/型號 市場價
（除稅）		 工程建議價
（除稅）		 行情 品牌 單位 稅率 供應(yīng)商 報價日期
曲線拉板 品種:曲線拉板;說明:鐵附件;類型:曲拉板;外形尺寸(mm):40×4×250;表面處理:熱鍍; 查看價格 查看價格

浩川

 副 13% 銀川浩川電力設(shè)備有限公司
曲線鋸 品種:曲線鋸;規(guī)格型號:GST85PBE; 查看價格 查看價格

博世

 臺 13% 寧夏聚多豐商貿(mào)有限公司
曲線鋸 品種:曲線鋸;類型:木工工具;規(guī)格:MIQ-FF-85; 查看價格 查看價格

東成

 臺 13% 內(nèi)蒙古鑫利達(dá)五金交電有限公司
曲線鋸 品種:曲線鋸;類型:木工工具;規(guī)格:GST 25 M; 查看價格 查看價格

博世

 臺 13% 內(nèi)蒙古鑫利達(dá)五金交電有限公司
曲線鋸 品種:曲線鋸;規(guī)格型號:MIQ-FF-85;包裝規(guī)格:8臺/箱; 查看價格 查看價格

東成

 臺 13% 青銅峽市杰達(dá)電動工具商行
曲線鋸 品種:曲線鋸;規(guī)格型號:M1Q-FF-85;包裝數(shù)量:8; 查看價格 查看價格

東成

 臺 13% 寧夏聚多豐商貿(mào)有限公司
曲線鋸 品種:電動曲線鋸;包裝規(guī)格:6臺/件;類型:木工工具;型號:506; 查看價格 查看價格

芯知藍(lán)

 臺 13% 重慶儒陽建筑工程有限公司
曲線鋸 品種:電動曲線鋸;類型:木工工具;型號:M1Q-FF-65; 查看價格 查看價格

東成

 臺 13% 長春禹奧經(jīng)貿(mào)有限公司
材料名稱 規(guī)格/型號 除稅
信息價		 含稅
信息價		 行情 品牌 單位 稅率 地區(qū)/時間
鋼筋彎曲機(jī) HBG-12 查看價格 查看價格

臺·月 深圳市2020年6月信息價
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臺·月 深圳市2020年5月信息價
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臺·月 深圳市2019年9月信息價
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臺·月 深圳市2018年11月信息價
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臺·月 深圳市2018年10月信息價
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臺·月 深圳市2018年9月信息價
材料名稱 規(guī)格/需求量 報價數(shù) 最新報價
（元）		 供應(yīng)商 報價地區(qū) 最新報價時間
曲線臥房燈 JXD-WH122-35 22W曲線臥房燈|8876個 1 查看價格 佛山市南海嘉美時代照明有限公司廣西辦事處 廣西  南寧市 2015-07-06
曲線臥房燈 JXD-WH132-35 32W曲線臥房燈|440個 1 查看價格 佛山市南海嘉美時代照明有限公司廣西辦事處 廣西  南寧市 2015-12-21
曲線臥房燈 JXD-WH140-35 40W曲線臥房燈|9778個 1 查看價格 佛山市南海嘉美時代照明有限公司廣西辦事處 廣西  南寧市 2015-04-13
曲線攀爬 詳見圖紙|1個 3 查看價格 廣州歡樂島康體設(shè)備有限公司 廣東  佛山市 2022-08-19
手提曲線鋸 博世(BOSCH)GST800手提曲線鋸功率:710W;空載|1臺 1 查看價格 廣東亮河機(jī)電設(shè)備有限公司 全國   2019-05-30
手提曲線鋸 原裝瑞士產(chǎn) BOSCH曲線鋸 710W 2.5kg 沖數(shù) 20-3100次/分|1.0臺 3 查看價格 北京鑫超工商貿(mào)有限公司    2015-12-14
雙曲線槽 展品設(shè)計一個巧妙的光學(xué)裝置,展示雙曲線的學(xué)性質(zhì),激發(fā)觀眾探索其中的原理.展品由雙曲線模型、擺桿、光電接收器、激光發(fā)射器組成.在雙曲線的其中一個焦點處安裝一個可旋轉(zhuǎn)的激光發(fā)射器,最大旋轉(zhuǎn)角度為雙曲線|1項 1 查看價格 安徽盛鴻展覽工程有限公司 全國   2022-08-15
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實地放樣緩和曲線之前，需要計算若干曲線要素：

不同類型的緩和曲線，數(shù)值不同

不同類型的緩和曲線，數(shù)值不同

不同類型的緩和曲線，數(shù)值不同

上面的公式中

——路線偏轉(zhuǎn)角，單位：弧度。這是設(shè)計數(shù)據(jù)；

R——圓曲線半徑，單位：m。這是設(shè)計數(shù)據(jù)；

——緩和曲線偏轉(zhuǎn)角，單位：弧度；

p——內(nèi)移距，單位：m；

q——切線增長，單位：m；（有些文獻(xiàn)用 m 表示該變量）

T——切線長，單位：m；

E——外距，單位：m；

D——切曲差，即切線長減去曲線長，單位：m；

注意：

的計算公式請見下文，每種類型的緩和曲線都有自己的計算公式。

[式中 α 為路線設(shè)計參數(shù)，R值對于設(shè)計道路可查相關(guān)規(guī)范]

緩和曲線的線型多種多樣，如回旋線、三次拋物線、七次四項式型、半波正弦型、一波正弦型、雙紐線、多心復(fù)曲線……

我國常用的線型有兩種：三次拋物線、回旋線。其中三次拋物線是回旋線的近似結(jié)果。

緩和曲線三次拋物線

鐵路上常用的緩和曲線是三次拋物線型。其方程式為：

上式中

是三次拋物線參數(shù)，它越大緩和曲線越緩。它近似的等于圓曲線半徑乘以緩和曲線長度，即

三次拋物線型緩和曲線的優(yōu)點是鋪設(shè)和養(yǎng)護(hù)維修比較容易，緩和曲線長度比較短；其缺點是始、終點存在折角，影響行車的平穩(wěn)性。

緩和曲線回旋線

公路、匝道常用的緩和曲線是回旋線，也叫放射螺旋線?；匦€不僅線形美觀，而且與駕駛員勻速轉(zhuǎn)動方向盤由圓曲線駛?cè)胫本€或者由直線駛?cè)雸A曲線的軌跡線相符合。

回旋線的本質(zhì)特征是：

即曲率

隨弧長
線性變化；

表示曲率隨弧長的增大而增大或減??；

是回旋線參數(shù)。它是圓曲線半徑 R 與緩和曲線全長
的幾何平均值，單位為米。對于一條緩和曲線而言，它是一個常數(shù)。A 越大，說明曲率變化越慢，曲線拐彎越緩；A越小，說明曲率變換越快，曲線拐彎越急。

緩和曲線詳論回旋線常見問題

由于直線與圓曲線間存在曲率半徑的突變，圓曲線半徑越大，這種突變程度就越小。當(dāng)圓曲線半徑超過2000m時，這種突變對軌道交通行車影響很小。而當(dāng)正線上曲線半徑不大于2000m時，則要在圓曲線與直線間加設(shè)緩和曲線，實現(xiàn)曲率半徑的逐漸過渡，減少列車在突變點處的輪軌沖擊。因此，《地鐵設(shè)計規(guī)范》（GB50157—2003）規(guī)定：“線路平面圓曲線與直線之間應(yīng)根據(jù)曲線半徑、超高設(shè)置及設(shè)計速度等因素設(shè)置緩和曲線，其長度可按表的規(guī)定采用?！?/p>

地鐵緩和曲線長度

R/L/.V

100

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

45

40

35

30

3000

30

25

20

2500

35

30

25

20

2000

40

35

30

25

20

20

1500

55

50

45

35

30

25

20

1200

70

60

50

40

35

30

25

20

20

1000

85

70

60

50

45

35

30

25

25

800

85

80

75

65

55

45

40

35

30

25

20

700

85

80

75

70

60

50

45

35

30

25

20

20

650

85

80

75

70

60

55

45

40

35

30

25

20

20

600

85

75

70

70

60

50

45

35

30

20

20

20

550

75

70

70

65

55

45

40

35

20

20

20

500

70

70

65

60

50

45

35

20

20

20

20

450

70

65

60

55

50

40

25

20

20

20

400

65

60

60

55

45

25

20

20

20

350

60

60

60

35

30

25

20

20

20

300

60

60

60

35

30

25

20

20

250

60

60

40

35

30

20

20

200

60

40

40

35

25

20

150

40

40

35

25

緩和曲線的作用：

1、緩和曲率——使曲率連續(xù)變化；

2、緩和超高——使橫向坡度連續(xù)變化；

3、緩和加寬——使車道加寬連續(xù)變化。

緩和曲線產(chǎn)生的效果：

1、曲率連續(xù)變化，便于車輛駕駛；

2、離心加速度連續(xù)變化，沒有突變，乘客感覺舒適；

3、超高橫坡度及加寬逐漸變化，行車更加穩(wěn)定；

4、與圓曲線配合，增加線形美觀。

緩和曲線參數(shù)C

參數(shù) C 按下式計算：

更高次項的系數(shù)，請見下表

1

2/5

1123/3600

23519/78000

93134377/286416000

671176607/1790100000

60632952362431/134042688000000

10959451729410359/19436189760000000

28568328624908898433/39649827110400000000

596762934176757576209/635718894670080000000

2098157146254959366777509639/1688977959359468544000000000

14062585980252142453129239257/8444889796797342720000000000

3127534025901397259312263980851/1386126739060529356800000000000

上式中，R 是圓曲線的曲率半徑。它是有正負(fù)號的，具體取法請參考前文；

是緩和曲線長度，注意它也是有正負(fù)號的：順著前進(jìn)方向為正，逆著前進(jìn)方向為負(fù)?，F(xiàn)舉例說明，如下圖所示

以ZH點為原點的坐標(biāo)系是測量坐標(biāo)系，將根據(jù) HY 點計算C。從 ZH 至 HY（樁號增加的方向）右轉(zhuǎn)，因此HY處的曲率半徑 R 取正值。HY 點的樁號比 ZH 點的樁號大，所以 Ls 也取正值。最終 C 為正值。

以HZ點為原點的坐標(biāo)系是數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，將根據(jù) YH 點計算C。從 YH 至 HZ（樁號增加的方向）右轉(zhuǎn)，因此YH處的曲率半徑 R 取負(fù)值。YH 點的樁號比 HZ 點的樁號小，所以 Ls 也取負(fù)值。最終 C 為正值。

注意：使用上述規(guī)則時，要求x 軸必須是切線，而且其正方向是樁號增加的方向。

更為一般的計算公式為：

上式中：

是三次拋物線上任意一點的曲率半徑，
是該點的樁號減去曲率為零點的樁號。

緩和曲線坐標(biāo) x

坐標(biāo) x 按下式計算

更高次項的系數(shù)，請見下表

1

-1/40

23/5760

-2773/2995200

2066579/8146944000

-224209943/2932899840000

28747533091/1173159936000000

-261175434475093/31844253302784000000

86647036511116753/30570483170672640000000

-2316511336548771758119/2307460069722370867200000000

35677500215657115786212861/98390097372961893777408000000000

緩和曲線坐標(biāo) y

坐標(biāo)y 按下式計算

更高次項的系數(shù)，請見下表

1/6

-1/80

133/57600

-16933/29952000

23345441/146644992000

-95319797/1955266560000

13001597946211/823558275072000000

-1694382133343581/318442533027840000000

9603494098034819239/5196982139014348800000000

緩和曲線曲率

曲率按下式計算：

更高次項的系數(shù)，請見下表

1

-2/5

121/720

-3337/46800

1932763/63648000

-579833/44752500

1585042411/286416000000

-9194722916339/3887237952000000

943636378388861/932937108480000000

-1904209296741873383/4401130809254400000000

69481023021498242079629/375328435413215232000000000

-11534698506084794283343/145601548220643840000000000

16035089603343026034099263/472913828620651192320000000000

緩和曲線曲率半徑

曲率半徑等于曲率的倒數(shù)

緩和曲線切線角

切線角按下式計算：

更高次項的系數(shù)，請見下表

1/2

-1/15

121/7200

-3337/655200

1932763/1145664000

-579833/984555000

1585042411/7446816000000

-9194722916339/116617138560000000

943636378388861/31719861688320000000

-1904209296741873383/167242970751667200000000

69481023021498242079629/15763794287355039744000000000

-11534698506084794283343/6697671218149616640000000000

16035089603343026034099263/23645691431032559616000000000000

緩和曲線最大切線角

最大切線角按下式計算

更高次項的系數(shù)，請見下表

1/2

2/15

167/1800

46351/546000

25385099/286416000

5252428289/52509600000

3982854295663/33510672000000

4270501632677849/29154284640000000

7356042227375864101/39649827110400000000

11595993887859194946607/48314635994926080000000

1866776187030795889021687763/5911422857758139904000000000

233123111824877589842938537/553368847083586560000000000

114262828881514570894054876308869

/200988377163776756736000000000000

緩和曲線弦長

弦長按下式計算

更高次項的系數(shù)，請見下表

1

-1/90

7/3240

-1021/1895400

-103137467/148478054400

1824489697/267260497920000

1962656897729/320712597504000000

172597317854624597/17410845493297152000000

12570996329063196101/12535808755173949440000000

-84559611892561668247007/73412289685903166668800000000

986086453888432129684636273/2402965612958834641128652800000000

緩和曲線弦切角

弦切角按下式計算：

更高次項的系數(shù)，請見下表

1/6

-4/405

329/194400

-279619937/50948352000

49981690783/400890746880000

-10875344672639/352783857254400000

112198229967587/11545653510144000000

-142446483534146625839/18803713132760924160000000

52613217024783269917249/38359574790832285286400000000

3424580749757991824764543627/15532865900902135616451379200000000

-1413931320131094500306391029838659/32941774994930072328304475504640000000000

緩和曲線最大弦切角

最大弦切角按下式計算

更高次項的系數(shù)，請見下表

1/6

23/405

2033/48600

1740762847/50948352000

10960255204399/400890746880000

6772270615585369/352783857254400000

1193239078444885151/150093495631872000000

-161805233310981385370591/18803713132760924160000000

-1286980164945796856981760287/38359574790832285286400000000

-72056068243648037753159483098122901/1009636283558638815069339648000000000

-4238353071056815709683515980381542179491/32941774994930072328304475504640000000000

-562636180723418426132797552941934630463/2614426586899212089547974246400000000000

-232168897210836372569220251035298614709587903/672012209896573475497411300294656000000000000

緩和曲線要素

更高次項的系數(shù)，請見下表

0

1/24

-19/1920

-9139/691200

-3240559/159744000

-282589603597/8798699520000

-7026310366847/140779192320000

-19235406274658191/253402546176000000

-1157743059288068176933/10190161056890880000000

-31472972322721395868013113/187091357004516556800000000

-593565174736535737082257554883/2399758472511265701888000000000

-2404682875032206089252747022332201/6641331572674927829975040000000000

-1872334767018224961225647555546981/3542043505426628175986688000000000

更高次項的系數(shù)，請見下表

1/2

-11/80

-5321/57600

-52487/7488000

18677834707/146644992000

3188362247677/9776332800000

169430712200037851/274519425024000000

332286113603292440329/318442533027840000000

8671309730283052493037077/5196982139014348800000000

912479043985584874133797609/352905657722244956160000000

696256490101343458284600171876781/177102175271331408799334400000000

13074672153106612908209529164613637/2213777190891642609991680000000000

463819829160454637226871854554498260583/52687897143221094117801984000000000000
2100433B

緩和曲線詳論回旋線文獻(xiàn)

不對稱緩和曲線隧道詳細(xì)測設(shè)及放樣 不對稱緩和曲線隧道詳細(xì)測設(shè)及放樣

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評分： 3

不對稱緩和曲線隧道詳細(xì)測設(shè)及放樣——我國現(xiàn)行隧道設(shè)計規(guī)范規(guī)定，三級和三級以上隧道在隧道路線轉(zhuǎn)彎時，要設(shè)置曲線，對于一般地形通常設(shè)置為對稱曲線，但在特殊地形或受地物限制時，可設(shè)置不對稱緩和曲線．關(guān)于不對稱曲線的計算，相關(guān)書籍都有各自的算法，根據(jù)...

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各級公路緩和曲線長度表 各級公路緩和曲線長度表

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頁數(shù)： 2頁

評分： 4.3

120 0.35 0.6 0.35 0.5 0.35 高速 山嶺 二 平、微 高速 重丘 一 平、微 高速 平、微 250 130 90 350 -- 100 360 -- -- 400 -- 110 160 150 450 -- -- -- -- 500 -- 120 -- -- 550 140 -- -- -- 600 -- -- -- -- 650 -- -- -- -- 170 700 150 130 170 160 180 750 -- -- -- -- -- 800 -- -- 180 -- 200 850 -- -- -- -- -- 900 160 140 190 170 220 1000 170 150 -- 180 240 1080 -- -- -- -- -- 1100 -- -- -- -- -- 1200 180 160 200 190 260 1300

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當(dāng)汽車從直線地段駛?cè)肭€時，為了緩和行車方向的突變和離心力的突然發(fā)生和消失，并能使汽車不減速而平穩(wěn)地通過，在平曲線兩端采用適應(yīng)汽車轉(zhuǎn)向和離心力漸變的緩和曲線，用來連接直線和平曲線。

緩和曲線主要有三種線形，即回旋線(輻射螺旋線)、雙紐線和三次拋物線。較理想的緩和曲線是汽車從直線段駛?cè)胍欢ò霃降钠角€時，在不降低車速又能徐緩均勻轉(zhuǎn)向的情況下，即汽車轉(zhuǎn)彎的曲率半徑從無窮大，有規(guī)律地逐漸減小至平曲線半徑，其中回旋線較能符合上述要求。

按照等速行駛、等角速度轉(zhuǎn)動方向盤的條件，求得的曲線稱為回旋曲線。在回旋線方程中，如果近似地以曲線弦長代替弧長，就成為雙紐線。如果近似地以曲線沿切線的長度代替弧長，就成為三次拋物線。

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中文名稱
緩和曲線測設(shè)
英文名稱
spiral curve location;transition curve location
定　　義
把設(shè)計的連接直線與圓曲線、圓曲線與圓曲線之間設(shè)置的曲率半徑連續(xù)變化的曲線放于實地的測量工作。
應(yīng)用學(xué)科
測繪學(xué)（一級學(xué)科），工程測量（二級學(xué)科）

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緩和曲線曲率連續(xù)變化，便于車輛遵循；離心加速度逐漸變化，旅客感覺舒適；超高橫坡度及加寬逐漸變化，行車更加平穩(wěn)；與圓曲線配合，增加線形美觀。

緩和曲線設(shè)置在直線和圓曲線之間或半徑相差較大的兩個轉(zhuǎn)向相同的圓曲線之間。

《規(guī)范》規(guī)定：除四級公路外的其它各級公路都應(yīng)設(shè)置緩和曲線，另外，當(dāng)圓曲線半徑大于“不設(shè)超高的最小半徑”時可省略緩和曲線。

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