級數(shù)簡介

級數(shù)是指將數(shù)列

級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具，在理論上和實際應(yīng)用中都處于重要地位，這是因為：一方面能借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進行近似計算等。

正項級數(shù)代表著收斂性最簡單的情形。在這種情形，級數(shù)級數(shù)的部分和 sm=u1 u2 … um隨著m單調(diào)增長，等價于級數(shù)的一般項un≥0(因此，有時也稱為非負項級數(shù))。于是級數(shù)(∑un)收斂等價于部分和(sm)有界。項越小，部分和就越傾向于有界，因而正項級數(shù)有比較判別法：

同樣，每項比前項的比值較小，部分和也就增加較少而較傾向于有界，因此正項級數(shù)又有比值判別法。事實上，這都在于斷定un的大小數(shù)量級。

正項級數(shù)之外，如果一個級數(shù)沒有正項，或者只有有限個正項，或者只有有限個負項，則其收斂問題都可以歸結(jié)到一個正項級數(shù)的收斂問題，所以只需考慮一個級數(shù)既有無限個正項又有無限個負項的情形。在這種級數(shù)中，結(jié)構(gòu)最簡單的是正負號逐項相間的級數(shù)，叫做交錯級數(shù)：

顯然，一個交錯級數(shù)在形式上可以看成兩個正項級數(shù)之差。

同樣，每一個級數(shù)在形式上都可以看成兩個正項級數(shù)(即這級數(shù)的“正部分”與“負部分”）之差：

一類重要的函數(shù)級數(shù)是形如

級數(shù)的收斂問題是級數(shù)理論的基本問題。從級數(shù)的收斂概念可知，級數(shù)的斂散性是借助于其部分和數(shù)列Sm的斂散性來定義的。因此可從數(shù)列收斂的柯西準則得出級數(shù)收斂的柯西準則 ：∑un收斂<=>任意給定正數(shù)ε，必有自然數(shù)N，當n>N，對一切自然數(shù) p，有|u[n 1] u[n 2] … u[n p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的絕對值可任意小。

如果每一un≥0（或un≤0），則稱∑un為正（或負）項級數(shù)，正項級數(shù)與負項級數(shù)統(tǒng)稱為同號級數(shù)。正項級數(shù)收斂的充要條件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收斂，因為：Sm=1 1/2! 1/3! ··· 1/m!<1 1 1/2 1/22 ··· 1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

有無窮多項為正，無窮多項為負的級數(shù)稱為變號級數(shù)，其中最簡單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的級數(shù)，稱之為交錯級數(shù)。判別這類級數(shù)收斂的基本方法是萊布尼茲判別法 ：若un ≥un 1 ，對每一n∈N成立，并且當n→∞時lim un=0，則交錯級數(shù)收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。對于一般的變號級數(shù)如果有∑|un|收斂，則稱變號級數(shù)絕對收斂。如果只有 ∑un收斂，但是∑|un|發(fā)散，則稱變號級數(shù)條件收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對收斂，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。

如果級數(shù)的每一項依賴于變量x,x 在某區(qū)間I內(nèi)變化,即un=un(x),x∈I，則∑un(x)稱為函數(shù)項級數(shù),簡稱函數(shù)級數(shù)。若x=x0使數(shù)項級數(shù)∑un(x0)收斂，就稱x0為收斂點，由收斂點組成的集合稱為收斂域，若對每一x∈I，級數(shù)∑un(x)都收斂，就稱I為收斂區(qū)間。顯然，函數(shù)級數(shù)在其收斂域內(nèi)定義了一個函數(shù)，稱之為和函數(shù)S(x)，即S(x)=∑un(x)如果滿足更強的條件，Sm(x)在收斂域內(nèi)一致收斂于S(x) 。

級數(shù)簡介

一個收斂的級數(shù)，如果在逐項取絕對值之后仍然收斂，就說它是絕對收斂的；否則就說它是條件收斂的。

簡單的比較級數(shù)就表明，只要∑|un|收斂就足以保證級數(shù)收斂;因而分解式(不僅表明∑|un|的收斂隱含著原級數(shù)∑un的收斂，而且把原級數(shù)表成了兩個收斂的正項級數(shù)之差。由此易見，絕對收斂級數(shù)同正項級數(shù)一樣，很像有限和，可以任意改變項的順序以求和，可以無限分配地相乘。

但是條件收斂的級數(shù)，即收斂而不絕對收斂的級數(shù)，決不可以這樣。這時式右邊成為兩個發(fā)散(到 ∞)的、其項趨于零的、正項級數(shù)之差，對此有黎曼定理。

級數(shù)黎曼定理

一個條件收斂的級數(shù)，在其項經(jīng)過適當?shù)呐帕兄?，可以收斂到一個事先任意指定的數(shù)；也可以發(fā)散到 ∞或－∞；也可以沒有任何的和。

一致收斂是收斂性與函數(shù)連續(xù)性結(jié)合的最重要的形式。2100433B

筒單級數(shù)反應(yīng)reaction with simple order速平萬程具有:二kc-A}cf},..形式，且式‘護濃度。的指數(shù)h,}.二為正、負整數(shù)或零的化學(xué)反應(yīng)。例如其(p q十一)為。,1,2,3的化學(xué)反應(yīng)分別稱為零級反應(yīng)、一級反應(yīng)、二級反應(yīng)和三級反應(yīng)，均是簡單級數(shù)反應(yīng)的典型例子。有的學(xué)者認為。(p一‘、 .二)為贅數(shù)或半整數(shù)的反應(yīng)均屬簡單級數(shù)反應(yīng)，例如(p十q ...)一2.5的反應(yīng)是其一例。 2100433B

法國數(shù)學(xué)家傅里葉在1807年就寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學(xué)院呈交，但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學(xué)院拒絕，1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學(xué)院大獎，卻未正式發(fā)表。傅里葉在論文中推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅里葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。

1822年，傅里葉出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur,Didot,Paris,1822）。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅里葉的名字命名。傅里葉應(yīng)用三角級數(shù)求解熱傳導(dǎo)方程，為了處理無窮區(qū)域的熱傳導(dǎo)問題又導(dǎo)出了當前所稱的“傅里葉積分”，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。然而傅里葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級數(shù)收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。傅立葉1822年成為科學(xué)院終身秘書。

根據(jù)傅里葉級數(shù)的原理，周期函數(shù)都可以展開為常數(shù)與一組具有共同周期的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和。

上式稱為f(t)的傅里葉級數(shù)，其中，ω=2π/T。

n=0，1，2，3，…。

n=1，2，3，4，…。

在間斷點處，下式成立：

a₀/2為信號f(t)的直流分量。

令

c₁為基波幅值，c_n為n次諧波的幅值。c₁有時也稱一次諧波的幅值。a₀/2有時也稱0次諧波的幅值。

諧波的頻率必然也等于基波的頻率的整數(shù)倍，基波頻率3倍的波稱之為三次諧波，基波頻率5倍的波稱之為五次諧波，以此類推。不管幾次諧波，他們都是正弦波。

高于基波頻率的諧波，稱為高次諧波，高次諧波的頻率是基波頻率的整數(shù)倍?；蛘哒f頻率為基波頻率2倍以上的正弦波均為高次諧波。