流體動(dòng)力學(xué)基本方程

錢(qián)學(xué)森著，徐華舫譯：《氣體動(dòng)力學(xué)諸方程》，科學(xué)出版社，北京，1966。(H.W.Emmons,Fundmentals　of Gas Dynamics,Section A, Oxford Univ.Press,Oxford,1958.)

G.K.Batchelor,　An Introduction to Fluid　Dynamics,Cambridge Univ.Press,Cambridge,1970.2100433B

基本方程有積分形式和微分形式兩種。前者通過(guò)對(duì)控制體和控制面的積分而得到流體諸物理量之間的積分關(guān)系式；后者通過(guò)對(duì)微元控制體或系統(tǒng)直接建立方程而得到任意空間點(diǎn)上流體諸物理量之間的微分關(guān)系式。求解積分形式基本方程可以得到總體性能關(guān)系，如流體與物體之間作用的合力和總的能量交換等；求解微分形式基本方程或求解對(duì)微元控制體建立的積分形式基本方程，可以得到流場(chǎng)細(xì)節(jié)，即各空間點(diǎn)上流體的物理量。

流體動(dòng)力學(xué)基本方程積分形式

主要有連續(xù)方程、動(dòng)量方程、動(dòng)量矩方程和能量方程。

1.連續(xù)方程 　單位時(shí)間流入控制體的質(zhì)量等于控制體內(nèi)質(zhì)量的增加。它是由質(zhì)量守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中v為速度;ρ為密度；τ為控制體體積；A為控制面面積；n為dA控制面處法線方向單位向量（圖1）。定常流動(dòng)時(shí)上等式右邊為零。這時(shí)如截取一段流管（見(jiàn)流體運(yùn)動(dòng)學(xué)）作為控制面(圖2），則有下述連續(xù)方程：

ρ1v1A1=ρ2v2A2

式中ρ1、v1、ρ2、v2分別為A1和A2截面上的流體平均密度和速度。

2.動(dòng)量方程 　單位時(shí)間內(nèi)，流入控制體的動(dòng)量與作用于控制面和控制體上的外力之和，等于控制體內(nèi)動(dòng)量的增加。它是由動(dòng)量守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中為外部作用于 dA控制面上單位面積上的力；┃為外部作用于dτ控制體內(nèi)單位質(zhì)量流體上的力；通常就是重力。定常流動(dòng)時(shí)，上等式右邊為零。動(dòng)量方程用于確定流體與其邊界之間的作用力。

3.動(dòng)量矩方程 　單位時(shí)間內(nèi)，流入控制體的動(dòng)量與作用于控制體和控制面上的外力對(duì)某一參考點(diǎn)的動(dòng)量矩之和，等于控制體內(nèi)對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩的增加。它是由動(dòng)量矩守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為　式中r為以某一參考點(diǎn)“0”為原點(diǎn)到dA控制面或dτ控制體的向徑。定常流動(dòng)時(shí)，上等式右邊為零。將它用于透平機(jī)械可得透平機(jī)械基本方程。

4.能量方程 　單位時(shí)間內(nèi)，流入控制體的各種能量與外力所作的功之和，等于控制體內(nèi)能量的增加。它是由能量守恒定律得到的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中qλ為單位時(shí)間內(nèi)單位面積的dA控制面上得到的傳導(dǎo)熱；qR為單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量的dτ控制體上得到的非傳導(dǎo)熱,包括輻射熱、化學(xué)反應(yīng)生成熱等；e為單位質(zhì)量流體的廣義內(nèi)能，包括熱力學(xué)中的內(nèi)能、電磁能等。對(duì)于重力場(chǎng)中無(wú)粘性流體的定常絕熱流動(dòng)，上式可化簡(jiǎn)為伯努利方程的形式式中p為壓力;z為距參考水平面的高度;可視為單位質(zhì)量流體的總能量，即內(nèi)能、動(dòng)能、壓力勢(shì)能和位能之和。這一方程的物理意義是：?jiǎn)挝粫r(shí)間流進(jìn)和流出控制面的總能量相等。

流體動(dòng)力學(xué)基本方程微分形式

主要有連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程和能量方程。

1.連續(xù)方程 　對(duì)流體微團(tuán)應(yīng)用質(zhì)量守恒定律得到的方程。它在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為式中u、v、w分別為x、y、z方向的速度分量。

2運(yùn)動(dòng)方程 　對(duì)流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律得到的方程。無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程就是歐拉方程，牛頓流體的運(yùn)動(dòng)方程就是納維－斯托克斯方程。

3.能量方程 　對(duì)流體微團(tuán)應(yīng)用能量守恒定律得到的方程。無(wú)粘性流體的能量方程為這表示流體微團(tuán)的內(nèi)能增量與可逆的體積膨脹功之和等于其輻射熱。式中為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子。牛頓流體的能量方程在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為這表示流體微團(tuán)的內(nèi)能增量及可逆的體積膨脹功之和等于其輻射熱、傳導(dǎo)熱及粘性耗散功之和。式中k為熱導(dǎo)率；T為溫度；Ф為耗散函數(shù),表示單位時(shí)間單位質(zhì)量流體由于粘性而耗散的機(jī)械功，它轉(zhuǎn)化為流體內(nèi)能。

上述微分形式基本方程本身包含的未知函數(shù)數(shù)目多于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù),所以求解時(shí)還必須引入補(bǔ)充方程。通常，這些補(bǔ)充方程也稱為基本方程。

電流體動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象是由帶電粒子和中性粒子組成的二組元系統(tǒng)。這一系統(tǒng)可用單組元流體模型作近似處理。假定表征介質(zhì)性質(zhì)的系數(shù)都是常數(shù)且流體是理想的（無(wú)粘性、無(wú)電阻、不導(dǎo)熱），則基本方程組包括：

連續(xù)性方程

能量方程

運(yùn)動(dòng)方程

狀態(tài)方程

電場(chǎng)方程

廣義歐姆定律

式中p為流體壓力；ρ為流體密度；T為溫度；v為流體速度；E為電場(chǎng)強(qiáng)度；J為電流密度；q為電荷密度；b為荷遷移率；c_v為定容比熱；R為氣體常數(shù)。電流體動(dòng)力學(xué)基本方程組同磁流體力學(xué)基本方程組主要不同點(diǎn)是在動(dòng)運(yùn)方程中用靜電力qE代替J×B，在電場(chǎng)方程中第二式的右端用零代替項(xiàng)；在廣義歐姆定律中用qv代替v×B項(xiàng)。

在一般情況下，可建立二組元模型的方程組，表征介質(zhì)性質(zhì)的系數(shù)可以不是常數(shù)。還可以把粘性、電阻、熱傳導(dǎo)等因素也考慮進(jìn)去。

磁流體力學(xué)的基本方程組有16個(gè)標(biāo)量方程，包含16個(gè)未知標(biāo)量，因此是完備的。結(jié)合邊界條件可以求解這個(gè)方程組。在磁流體動(dòng)力學(xué)中，等離子體可以看作是良導(dǎo)體，電磁場(chǎng)變化的特征時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粒子碰撞的時(shí)間，電磁場(chǎng)可以認(rèn)為是準(zhǔn)靜態(tài)的，因此麥克斯韋方程組中的位移電流項(xiàng)可以忽略，寫(xiě)為：由于存在洛侖茲力，歐姆定律的數(shù)學(xué)形式為：等離子體是流體，滿足流體的連續(xù)性方程：流體的運(yùn)動(dòng)方程的右邊應(yīng)加上電磁力項(xiàng)，而重力與電磁力相比是小量，常常也可以忽略不計(jì)。因此運(yùn)動(dòng)方程為：其中能量方程的右邊應(yīng)加上因電磁場(chǎng)引起的焦耳熱，重力所做的功可以忽略不計(jì)。

流體的狀態(tài)方程形式為：

p = p(ρ,T)對(duì)于絕熱過(guò)程，有pρ ? γ = const 理想磁流體力學(xué)方程組對(duì)于無(wú)粘、絕熱、理想導(dǎo)電的等離子體，即理想導(dǎo)電流體，磁流體力學(xué)方程可以簡(jiǎn)化為：pρ ? γ = const ，其稱為理想磁流體力學(xué)方程組，即 pρ ? γ = const。