OMP算法

3.1 算法描述

OMP算法的改進之處在于：在分解的每一步對所選擇的全部原子進行正交化處理，這使得在精度要求相同的情況下，OMP算法的收斂速度更快。

那么在每一步中如何對所選擇的全部原子進行正交化處理呢？在正式描述OMP算法前，先看一點基礎思想。

先看一個 k 階模型，表示信號 f 經(jīng)過 k 步分解后的情況，似乎很眼熟，但要注意它與MP算法不同之處，它的殘值與前面每個分量正交，這就是為什么這個算法多了一個正交的原因，MP中僅與最近選出的的那一項正交。

(1)

k 1 階模型如下：

(2)

應用 k 1階模型減去k 階模型，得到如下：

(3)

我們知道，字典矩陣D的原子是非正交的，引入一個輔助模型，它是表示對前k個項的依賴，描述如下：

(4)

和前面描述類似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，后面的項是殘值。這個關系用數(shù)學符號描述：

請注意，這里的 a 和 b 的上標表示第 k 步時的取值。

將(4)帶入(3)中，有：

（5）

如果一下兩個式子成立，(5)必然成立。

(6)

(7)

令，有

其中。

ak的值是由求法很簡單，通過對(7)左右兩邊添加作內(nèi)積消減得到：

后邊的第二項因為它們正交，所以為0，所以可以得出ak的第一部分。對于，在（4）左右兩邊中與作內(nèi)積，可以得到ak的第二部分。

對于(4)，可以求出，求的步驟請參見參考文件的計算細節(jié)部分。為什么這里不提，因為后面會介紹更簡單的方法來計算。

3.2

通過(7)，由于與正交，將兩個殘值移到右邊后求二范的平方，并將ak的值代入可以得到：

可見每一次殘差比上一次殘差小，可見是收斂的。

3.3 算法步驟

整個OMP算法的步驟如下：

由于有了上面的來龍去脈，這個算法就相當好理解了。

到這里還不算完，后來OMP的迭代運算用另外一種方法可以計算得知，有位同學的論文[2]描述就非常好，我就直接引用進來：

對比中英文描述，本質(zhì)都是一樣，只是有細微的差別。這里順便貼出網(wǎng)一哥們寫的OMP算法的代碼，源出處不得而知，共享給大家。

再貼另外一個洋牛paper[3]中關于OMP的描述，之所以引入，是因為它描述的非常嚴謹，但是也有點苦澀難懂，不過有了上面的基礎，就容易多了。

它的描述中的Sweep步驟就是尋找與當前殘差最大的內(nèi)積時列在字典矩陣D中的索引，它的這個步驟描述說明為什么要選擇內(nèi)積最大的以及如何選擇。

它的算法步驟Update Provisional Solution中求很簡單，就是在 b = Ax 已知 A和b求x， 在x的最小二范就是A的偽逆與b相乘，即：2100433B

bm擺線馬達共六大系列，可完全替代進口伊頓J2K、J6K；丹佛斯DANFOSS，OMP、OMR、OMS、OMV、OMT等系列，同時亦可替換國產(chǎn)BM1、BM2、BM3、BM4、BM5/2X、BM6/6X等系產(chǎn)品 。

本項目在國內(nèi)外土木工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領域首先開展了數(shù)據(jù)壓縮采樣的研究，研究了數(shù)據(jù)稀疏分解的正交匹配追蹤（OMP）算法，獲得信號的稀疏表示；由于結(jié)構(gòu)振動響應信號具有稀疏性，因此研究了結(jié)構(gòu)動力響應數(shù)據(jù)的壓縮采樣；研究了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測聲發(fā)射數(shù)據(jù)壓縮采樣的OMP算法；為增加無線傳感器數(shù)據(jù)傳輸?shù)聂敯粜?，提出了基于壓縮采樣技術的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測無線傳感器網(wǎng)絡數(shù)據(jù)丟失的恢復方法，并將算法嵌入到美國UIUC大學B.F. Spencer教授研制的Imote2無線傳感器里?？紤]測量噪聲，提出了Bayesian壓縮采樣方法。并進一步將壓縮采樣方法擴展用于具有稀疏解的系統(tǒng)識別反問題，提出了基于壓縮采樣理論與子結(jié)構(gòu)靈敏度分析的結(jié)構(gòu)損傷識別方法。研究成果采用山東濱州黃河公路大橋、哈爾濱松浦大橋以及國家游泳中心等現(xiàn)場監(jiān)測數(shù)據(jù)進行了驗證，取得好的結(jié)果。項目研究成果可用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的數(shù)據(jù)壓縮，無線傳感器和傳感網(wǎng)絡的數(shù)據(jù)魯棒傳輸，具有稀疏解的系統(tǒng)識別問題。為土木工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)分析與處理的發(fā)展提供了新的思路，具有重要的理論意義和實際價值。 2100433B

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