彈性柱體扭轉(zhuǎn)

彈性柱體扭轉(zhuǎn)(torsion of elastic cylinder)一類彈性力學(xué)問題.指彈性柱體在端頭力偶作用下的扭轉(zhuǎn)問題.最早由法國力學(xué)家、幾何學(xué)家圣韋南(Saint-Venant, A. J. C. B. de)于1855年研究過，其后德國學(xué)者普朗托(Prandtl , L.)于1903年和俄國學(xué)者于1913年用不同方法分別予以解決。

彈性柱體扭轉(zhuǎn)問題的解決，一方面基于圣韋南原理，即在端頭放松邊條件;另一方面基于先假設(shè)問題的一部分未知量為已知，然后求未知的部分，即所謂半逆解法.設(shè)柱截面為xy平面上的區(qū)域D，母線沿z軸.令

式中G為拉梅系數(shù)之一，亦稱剪切模量，B為柱單位長度的扭角.中在D的邊界，上滿足邊條件中l(wèi)，-0.求解這個邊值問題，可得未知應(yīng)力么二，幾二，進而可以通過積分求得端頭的扭矩M}.以上這種提法的扭轉(zhuǎn)問題稱為自由扭轉(zhuǎn)問題.一般情況下，除圓截面外，扭轉(zhuǎn)后橫截面要發(fā)生翹曲，即不再保持為平面.如果在一端加以約束，使端面保持平面，這種問題稱為約束扭轉(zhuǎn)問題.

A. J. C. B. de圣維南于1855年和1856年先后解決了扭轉(zhuǎn)和彎曲問題。澳大利亞的J.H. 米歇爾于1901年和1905年分別解出了幾種分布載荷下的彎曲問題和變截面柱體的扭轉(zhuǎn)問題。L.普朗特于1903年和S.P. 鐵木辛柯于1913年利用引進應(yīng)力函數(shù)（見應(yīng)力函數(shù)和位移函數(shù)）的方法分別解決了以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)的扭轉(zhuǎn)和彎曲問題。

柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲問題屬于僅在端面上受力的柱體平衡問題。按彈性力學(xué)方法得到嚴格滿足邊界條件的解是很困難的。為此，利用圣維南原理，將邊界條件放松，即認為離端面足夠遠處的應(yīng)力僅與端面上外力的合力及合力矩有關(guān)。這種放松了邊界條件的問題稱為圣維南問題。根據(jù)實驗，圣維南假設(shè)，柱體縱向纖維之間的作用力為零。圣維南問題的解是唯一的，對大部分問題，解可以通過間接或近似方法求出。間接方法主要有兩類：一類是半逆解法，即先在應(yīng)力分量或位移分量中假設(shè)一部分未知函數(shù)的形式，然后將所假設(shè)的未知函數(shù)代入基本方程，并使全部的未知函數(shù)滿足所給定的邊界條件由此求得另外一部分未知函數(shù)。另一類是薄膜比擬，即利用彈性薄膜同扭轉(zhuǎn)和彎曲問題的相似性，通過對薄膜的研究來確定扭轉(zhuǎn)和彎曲問題中的未知量。用彈性力學(xué)方法得到的結(jié)果，其精度高于材料力學(xué)中以平截面假設(shè)為基礎(chǔ)的結(jié)果。

考慮等截面柱體，取z軸沿柱體縱軸方向，柱體兩端在xy面內(nèi)受扭矩T的作用。在非圓形截面柱體的扭轉(zhuǎn)問題中，截面不僅產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，而且產(chǎn)生翹曲。下面介紹求解這類問題的半逆解法和薄膜比擬方法。

柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲半逆解法

由于單位柱長上截面的相對轉(zhuǎn)角θ較小，所以，x和y方向的位移u和v可認為是由截面作整體轉(zhuǎn)動引起的。由此可假設(shè)u=－θzy，v=θzx，并假設(shè)z方向的未知位移分量為w=θψ（x，y），式中ψ（x，y）稱為圣維南函數(shù)或翹曲函數(shù)，它滿足的基本方程式為：

邊界條件為：

式中s為邊界S的周向長度。求出ψ后，根據(jù)ψ與應(yīng)力分量的關(guān)系以及平衡關(guān)系，可求出θ，進而可確定位移分量和應(yīng)力分量。

以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)求解扭轉(zhuǎn)問題時，根據(jù)圣維南的假設(shè)，正應(yīng)力和xy平面內(nèi)的剪應(yīng)力為零，即

（注：t_xy和t_yx分別改為t_zx和t_yz）式中Ψ（x、y）稱為普朗特函數(shù)或扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，它滿足的方程為：

其邊界條件為：

式中G為拉梅常數(shù)，又稱剪切模量；表示Ψs在邊界S上的值。

在求得Ψ后，利用有關(guān)方程便可得到其余未知函數(shù)。對于外凸狀的截面，最大剪應(yīng)力出現(xiàn)在離截面中心最近的截面邊界處。

柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲薄膜比擬

研究承受均勻橫向壓力作用的彈性薄膜的變形問題可以發(fā)現(xiàn)，當薄膜中的某呰物理量（如壓力和表面張力）和柱體扭轉(zhuǎn)問題中的某些物理量（如單位長度的扭轉(zhuǎn)角θ和剪切模量G）之間滿足一定的關(guān)系時，扭轉(zhuǎn)問題中的物理量的數(shù)值可由和柱體截面形狀相同的薄膜中相應(yīng)的物理量的數(shù)值來確定。例如，柱體中任意一點剪應(yīng)力分量可由薄膜對應(yīng)點處與剪應(yīng)力垂直的方向上薄膜的斜率來確定。由此可以得出結(jié)論：剪應(yīng)力合力的方向是薄膜等高線的切線方向，最大剪應(yīng)力出現(xiàn)在薄膜等高線最稠密的點。

在略去局部應(yīng)力的影響后，用薄膜比擬法求得的狹矩形截面柱體的扭轉(zhuǎn)結(jié)果可用于求解開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)。若用薄膜比擬法求解具有兩個或兩個以上邊界的薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題，則需要將內(nèi)邊界用無重量的剛性平板來代替，并利用薄膜罩住的體積的兩倍等于扭矩的關(guān)系以及剪應(yīng)力環(huán)量公式聯(lián)立求解，這樣便可得到剪應(yīng)力分量。所謂剪應(yīng)力環(huán)量公式就是剪應(yīng)力在薄膜等高線上的積分為常數(shù)，即

式中A為等高線所包圍的面積。

截面為圓形、橢圓形、等邊三角形以及矩形等簡單形狀柱體的扭轉(zhuǎn)和彎曲問題已經(jīng)得到了精確解答。薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題也得到了比較滿意的結(jié)果。由于對復(fù)雜形狀截面柱體的扭轉(zhuǎn)和彎曲問題尚缺乏簡便的計算方法，因此，經(jīng)常采用近似計算方法或?qū)嶒灧椒右越鉀Q。