相交

曲面上的相交論可以概括為，存在唯一的一個對稱雙線性配對

，并通過下述要求來法化，即對于兩條橫截相交的非異曲線

恰是

與

的交點個數(shù)。證明此定理的主要工具是Bertini定理，它使我們對任意兩個除子，可以在它們的線性等價類中移動它們，使其成為橫截相交的不可約非異曲線的差。

高維時的情況相當(dāng)復(fù)雜，相應(yīng)的活動引理顯得弱了一些，所以需要一個較強(qiáng)的法化要求。結(jié)果發(fā)現(xiàn)展開相交理論的最適當(dāng)?shù)姆绞皆瓉硎峭瑫r對所有的簇都進(jìn)行討論，連態(tài)射

的相伴函子式映射

及

，也作為結(jié)構(gòu)部分被包括進(jìn)去。

設(shè)X為k上任意簇，

上一個余維r的環(huán)元，是指X的余維r的閉不可約子簇生成的自由Abel群中的一個元。故可將一個環(huán)元寫為

，

為子簇，

。有時要論及一個有用的概念，即與閉子概型相伴的環(huán)元。設(shè)Z是余維r的閉子概型，

是Z的所有余維r的不可約分支，定義

為相伴于Z的環(huán)元，其中

是Z在

的廣點

的局部環(huán)

的長度。

設(shè)

為簇間的態(tài)射，Y為X的子簇．如果

，令

，如果

，則函數(shù)域

是

的有限擴(kuò)張域，令

由線性擴(kuò)張便定了X上環(huán)元的群到X'上環(huán)元的群的同態(tài)

。

現(xiàn)在來定義有理等價性，當(dāng)

是

上線性等價的Weil除子時，稱

為X上有理等價的環(huán)元。一般的情形，對所有的子簇V，及所有

上線性等價的Weil除子

讓

生成了等價關(guān)系。在這個等價關(guān)系下，我們定義了X上環(huán)元的有理等價性。特別地，當(dāng)X本身是正規(guī)時，余維l的環(huán)元的有理等價性與Weil除子的線性等價性一致。

對每個r，令

是X上余維r的環(huán)元的有理等價類群。以

表示分次群

，其中

。注意，

時

。還要注意到，當(dāng)X為完全簇時，有一個自然的群同態(tài)，即次數(shù)，它從

到Z，由

定義。

在一個給定的簇類

上，一個相交理論由對每個

及每個

給出一個配對

構(gòu)成，這些配對應(yīng)滿足下面列m的公理。如果

，我們以

表示其相交環(huán)元類。

在敘述公理前，還要給個定義，對

中簇間的任意態(tài)射

，假定

仍在

中，則可定義一個同態(tài)

如后：對子簇

，定義

其中

分別是

到

的投射，

是

的圖，將它看為

上的環(huán)元。

上述諸元必須滿足下列要求。

A1. 相交配對使

對每個

成為一個交換的可結(jié)合分次環(huán)，并具幺元，稱為X的周環(huán)。

A2. 對

中簇的任意態(tài)射

是環(huán)同態(tài)，如

是另一態(tài)射，則

。

A3. 對

中簇的任意本征態(tài)射

是分次群同態(tài)(移動了分次)，如果

是另一個態(tài)射，則

。

A4. 投射公式。若

是本征態(tài)射，

，則

A5. 化為對角線。如果

為X上環(huán)元，

為對角態(tài)射，則

A6. 局部特性。如果Y與Z是X的子簇，它們正常相交(即

的每個不可約分支的余維等于

)，則可記

其中∑是對

的所有不可約分支取和，整數(shù)

僅依賴于

的廣點在X中的鄰域。稱

為Y及Z在

的局部相交重數(shù)。

A7. 法化。設(shè)Y是X的子簇，Z是與Y正常相交的有效Cartier除子，則

恰好是Y上Cartier除子

相伴的環(huán)元，其中

在Y上是由Z的局部方程限制在Y上定義的子概型。(它特別表明，橫截相交的非異子簇的重數(shù)為1)。