相量定理

相量形式的KCL定律表示對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一結(jié)點(diǎn)，流出(或流入)該結(jié)點(diǎn)的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。

相量形式的KVL定律表示對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。

特別注意的是任一結(jié)點(diǎn)全部支路電流最大值（或有效值）和沿任一回路全部支路電壓振幅（或有效值）的代數(shù)和并不一定等于零。

相量僅適用于頻率相同的正弦電路.由于頻率一定,在描述電路物理量時(shí)就可以只需考慮振幅與相位,振幅與相位用一個(gè)復(fù)數(shù)表示,其中復(fù)數(shù)的模表示最大值,輻角表示初相位.這個(gè)復(fù)數(shù)在電子電工學(xué)中稱為相量.

兩同頻率正弦量疊加,表述為:Asin(ωt α) Bsin(ωt β)=(Acosα Bcosβ)sinωt (Asinα Bsinβ)cosωt.易知,疊加后頻率沒變,相位變化,而且服從相量(復(fù)數(shù))運(yùn)算法則.故相量相加可以描述同頻率正弦量的疊加.

相量的的乘除可以表示相位的變化,例如:電感Ι電壓超前電流90度,用相量法表示為U=jχI,其中j為單位復(fù)數(shù),χ為感抗.

相量是電子工程學(xué)中用以表示正弦量大小和相位的矢量。當(dāng)頻率一定時(shí)，相量表征了正弦量。將同頻率的正弦量相量畫在同一個(gè)復(fù)平面中（極坐標(biāo)系統(tǒng)），稱為相量圖。從圖1中可以方便的看出各個(gè)正弦量的大小及它們之間的相位關(guān)系，為了方便起見，圖1中一般省略極坐標(biāo)軸而僅僅畫出代表相量的矢量。

相量獨(dú)立源

一個(gè)隨時(shí)間變化的電壓和電流，可以用一個(gè)稱為相量的復(fù)數(shù)來表示。已知正弦電壓電流的瞬時(shí)值表達(dá)式，可以得到相應(yīng)的電壓電流相量。反過來，已知電壓電流相量，也能夠?qū)懗稣译妷弘娏鞯乃矔r(shí)值表達(dá)式。

相量電阻元件

由電阻電壓的相位與電阻電流的相位相同，U=RI有：

相量電容元件

由電容電流超前于電容電壓90° ，I=dU/dt有：

相量電感元件

由電感電壓的相位超前于電感電流的相位90°，U=di/dt有：

2100433B

運(yùn)算中，需要注意的是，相量復(fù)數(shù)用頭上帶點(diǎn)的大寫字母表示。分析中的相量一般都是指有效值相量。

相量表示正弦量是指兩者有對應(yīng)關(guān)系，并不是指兩者相等。因?yàn)檎伊渴菚r(shí)間函數(shù)，而相量只是與正弦量的大小及初相相對應(yīng)的復(fù)數(shù)。

分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種方法。1893年由德國人C.P.施泰因梅茨首先提出。此法是用稱為相量的復(fù)數(shù)來代表正弦量，將描述正弦穩(wěn)態(tài)電路的微分（積分）方程變換成復(fù)數(shù)代數(shù)方程，從而在較大的程度上簡化了電路的分析和計(jì)算。目前，在進(jìn)行分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)，人們幾乎都采用這種方法。

相量法（phasor method），是分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的便捷方法。它用稱為相量(Phasor)的復(fù)數(shù)代表正弦量，將描述正弦穩(wěn)態(tài)電路的微分（積分）方程變換成復(fù)數(shù)代數(shù)方程，從而簡化了電路的分析和計(jì)算。該法自1893年由德國人C.P.施泰因梅茨提出后，得到廣泛應(yīng)用。相量可在復(fù)平面上用一個(gè)矢量來表示。它在任何時(shí)刻在虛軸上的投影即為正弦量在該時(shí)刻的瞬時(shí)值。引入相量后，兩個(gè)同頻率正弦量的加、減運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相應(yīng)相量的加、減運(yùn)算。相量的加、減運(yùn)算既可通過復(fù)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行，也可在相量圖上按矢量加、減法則進(jìn)行。正弦量與它的相量是一一對應(yīng)的，因此求出了相量就不難寫出原來需要求的正弦量。

正弦量(例如電流)可以表示成

或

(1*)，

式中符號

用有效值代替振幅

顯然，在角頻率(Angular frequency)ω已知的情況下，可以用振幅相量或有效值相量代表一個(gè)正弦量。正弦量與它的相量是一一對應(yīng)的。

給定了正弦量的瞬時(shí)值表達(dá)式i(t)=I_msin(ωtψ_i)=√2Isin(ωtψ_i)，可以用式中振幅（或有效值）和初相角(Initial phase angle)組成相量

相量法相量圖

相量是一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上可以用一個(gè)矢量來表示，所以一個(gè)相量可以用復(fù)平面上的一個(gè)矢量來表示。這種表示相量的圖稱為相量圖。若相量乘上e^jωt,則表示該相量的矢量以角速度ω繞原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)，于是得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量。這個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量稱為旋轉(zhuǎn)相量，它在任何時(shí)刻在虛軸上的投影即為正弦量在該時(shí)刻的瞬時(shí)值。

引入相量后，兩個(gè)同頻正弦量的加、減運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相應(yīng)的相量的加、減運(yùn)算，相量的加減運(yùn)算既可通過復(fù)數(shù)運(yùn)算進(jìn)行，也可在相量圖上按矢量加、減法則進(jìn)行。另外，常遇到的正弦量乘以任意實(shí)常數(shù)和正弦量對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可分別轉(zhuǎn)化為正弦量的相量乘以該任意實(shí)常數(shù)和正弦量的相量乘以的jω 運(yùn)算。

相量法基爾霍夫定律的相量形式

在正弦穩(wěn)態(tài)下，基爾霍夫定律中的電流和電壓都是正弦量。用相量代表正弦電流和電壓后,基爾霍夫電流定律(KCL)和基爾霍夫電壓定律(KVL)分別變成

和

相量法電路元件的電壓相量與電流相量的關(guān)系

利用相量可將電路元件在時(shí)域中的電壓電流關(guān)系轉(zhuǎn)換成電壓相量與電流相量的關(guān)系。正弦電路中幾種常用元件的電壓相量與電流相量的關(guān)系如表所示。將正弦交流電路中每個(gè)電路均用對應(yīng)的相量電路模型代替，便得到一個(gè)與原電路相對應(yīng)的相量電路模型，這種模型對正弦交流電路的計(jì)算很有用處。

相量法復(fù)數(shù)阻抗與復(fù)數(shù)導(dǎo)納

正弦交流電路中一個(gè)不含獨(dú)立電源且與外電路無耦合的一端口網(wǎng)絡(luò)，其端上的電壓相量與電流相量的比值定義為該網(wǎng)絡(luò)的入端復(fù)數(shù)阻抗，簡稱阻抗。它的倒數(shù)定義為該網(wǎng)絡(luò)的入端復(fù)數(shù)導(dǎo)納，簡稱導(dǎo)納，分別用符號Z和Y表示。復(fù)數(shù)阻抗的實(shí)部稱為等效電阻，虛部稱為電抗，模稱為阻抗模，幅角稱為阻抗角,它們分別用符號R、X、|Z|、φ表示。復(fù)數(shù)導(dǎo)納的實(shí)部稱為等效電導(dǎo)，虛部稱為電納，模稱為導(dǎo)納模，幅角稱為導(dǎo)納角，它們分別用符號G、B、|Y|、φ表示，于是

Z =RjX=|Z|e^jφ

Y =GjB=|Y|e^jφ

顯然，阻抗模等于端口電壓振幅（有效值）與端口電流振幅（有效值）的比值，阻抗角等于端口電壓超前端口電流的角度；導(dǎo)納模等于端口電流振幅(有效值)與端口電壓振幅（有效值）的比值，導(dǎo)納角等于端口電流超前端口電壓的角度。

電阻元件、電感元件和電容元件都是最簡單的一端口網(wǎng)絡(luò)，若以Z_R、Z_L和Z_C表示三者的復(fù)數(shù)阻抗，則按定義分別是Z_R=R、Z_L=jωL和Z_C=1/jωC；若以Y_R、Y_L和Y_C表示三者的復(fù)數(shù)導(dǎo)納,則按定義分別是Y_R=G、Y_L=1/jωL和Y_C=jωC。

顯然，復(fù)數(shù)阻抗（復(fù)數(shù)導(dǎo)納）的引入能使原非同類的元件歸并為都以復(fù)數(shù)阻抗（復(fù)數(shù)導(dǎo)納）來表征的同類元件，復(fù)數(shù)阻抗（復(fù)數(shù)導(dǎo)納）在交流電路中的地位與直流電路中的電阻（電導(dǎo)）相當(dāng)。

相量法用相量法計(jì)算正弦交流電路

用此法計(jì)算電路有兩種方式，一種方式是，先象暫態(tài)分析那樣寫出電路的微分方程，再將方程中的正弦量和對正弦量的運(yùn)算按規(guī)則改換成相量和對相量的運(yùn)算，得出與原微方程相對應(yīng)的含相量的代數(shù)方程,然后,解此方程求出待求相量。另一種方式，也是通常所用的方式，則是在原電路的相量電路模型上,使用KCL和KVL的相量形式和電路元件電壓-電流關(guān)系的相量形式，如同計(jì)算直流電路那樣，直接列出含相量的代數(shù)方程，然后解此方程求出待求相量。兩種方式得到的解答完全一樣。有了相量便不難寫出原來需要求的正弦量。