相量電路元件

相量獨立源

一個隨時間變化的電壓和電流，可以用一個稱為相量的復數(shù)來表示。已知正弦電壓電流的瞬時值表達式，可以得到相應的電壓電流相量。反過來，已知電壓電流相量，也能夠寫出正弦電壓電流的瞬時值表達式。

相量電阻元件

由電阻電壓的相位與電阻電流的相位相同，U=RI有：

相量電容元件

由電容電流超前于電容電壓90° ，I=dU/dt有：

相量電感元件

由電感電壓的相位超前于電感電流的相位90°，U=di/dt有：

2100433B

相量形式的KCL定律表示對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一結點，流出(或流入)該結點的全部支路電流相量的代數(shù)和等于零。

相量形式的KVL定律表示對于具有相同頻率的正弦電流電路中的任一回路，沿該回路全部支路電壓相量的代數(shù)和等于零。

特別注意的是任一結點全部支路電流最大值（或有效值）和沿任一回路全部支路電壓振幅（或有效值）的代數(shù)和并不一定等于零。

相量僅適用于頻率相同的正弦電路.由于頻率一定,在描述電路物理量時就可以只需考慮振幅與相位,振幅與相位用一個復數(shù)表示,其中復數(shù)的模表示最大值,輻角表示初相位.這個復數(shù)在電子電工學中稱為相量.

兩同頻率正弦量疊加,表述為:Asin(ωt α) Bsin(ωt β)=(Acosα Bcosβ)sinωt (Asinα Bsinβ)cosωt.易知,疊加后頻率沒變,相位變化,而且服從相量(復數(shù))運算法則.故相量相加可以描述同頻率正弦量的疊加.

相量的的乘除可以表示相位的變化,例如:電感Ι電壓超前電流90度,用相量法表示為U=jχI,其中j為單位復數(shù),χ為感抗.

相量是電子工程學中用以表示正弦量大小和相位的矢量。當頻率一定時，相量表征了正弦量。將同頻率的正弦量相量畫在同一個復平面中（極坐標系統(tǒng)），稱為相量圖。從圖1中可以方便的看出各個正弦量的大小及它們之間的相位關系，為了方便起見，圖1中一般省略極坐標軸而僅僅畫出代表相量的矢量。

運算中，需要注意的是，相量復數(shù)用頭上帶點的大寫字母表示。分析中的相量一般都是指有效值相量。

相量表示正弦量是指兩者有對應關系，并不是指兩者相等。因為正弦量是時間函數(shù)，而相量只是與正弦量的大小及初相相對應的復數(shù)。

分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種方法。1893年由德國人C.P.施泰因梅茨首先提出。此法是用稱為相量的復數(shù)來代表正弦量，將描述正弦穩(wěn)態(tài)電路的微分（積分）方程變換成復數(shù)代數(shù)方程，從而在較大的程度上簡化了電路的分析和計算。目前，在進行分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)時，人們幾乎都采用這種方法。

相量法（phasor method），是分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的便捷方法。它用稱為相量(Phasor)的復數(shù)代表正弦量，將描述正弦穩(wěn)態(tài)電路的微分（積分）方程變換成復數(shù)代數(shù)方程，從而簡化了電路的分析和計算。該法自1893年由德國人C.P.施泰因梅茨提出后，得到廣泛應用。相量可在復平面上用一個矢量來表示。它在任何時刻在虛軸上的投影即為正弦量在該時刻的瞬時值。引入相量后，兩個同頻率正弦量的加、減運算可以轉化為兩個相應相量的加、減運算。相量的加、減運算既可通過復數(shù)運算進行，也可在相量圖上按矢量加、減法則進行。正弦量與它的相量是一一對應的，因此求出了相量就不難寫出原來需要求的正弦量。

正弦量(例如電流)可以表示成

或

(1*)，

式中符號

用有效值代替振幅

顯然，在角頻率(Angular frequency)ω已知的情況下，可以用振幅相量或有效值相量代表一個正弦量。正弦量與它的相量是一一對應的。

給定了正弦量的瞬時值表達式i(t)=I_msin(ωtψ_i)=√2Isin(ωtψ_i)，可以用式中振幅（或有效值）和初相角(Initial phase angle)組成相量

相量法相量圖

相量是一個復數(shù)，復數(shù)在復平面上可以用一個矢量來表示，所以一個相量可以用復平面上的一個矢量來表示。這種表示相量的圖稱為相量圖。若相量乘上e^jωt,則表示該相量的矢量以角速度ω繞原點反時針旋轉，于是得到一個旋轉矢量。這個旋轉矢量稱為旋轉相量，它在任何時刻在虛軸上的投影即為正弦量在該時刻的瞬時值。

引入相量后，兩個同頻正弦量的加、減運算可以轉化為兩個相應的相量的加、減運算，相量的加減運算既可通過復數(shù)運算進行，也可在相量圖上按矢量加、減法則進行。另外，常遇到的正弦量乘以任意實常數(shù)和正弦量對時間求導數(shù)的運算可分別轉化為正弦量的相量乘以該任意實常數(shù)和正弦量的相量乘以的jω 運算。

相量法基爾霍夫定律的相量形式

在正弦穩(wěn)態(tài)下，基爾霍夫定律中的電流和電壓都是正弦量。用相量代表正弦電流和電壓后,基爾霍夫電流定律(KCL)和基爾霍夫電壓定律(KVL)分別變成

和

相量法電路元件的電壓相量與電流相量的關系

利用相量可將電路元件在時域中的電壓電流關系轉換成電壓相量與電流相量的關系。正弦電路中幾種常用元件的電壓相量與電流相量的關系如表所示。將正弦交流電路中每個電路均用對應的相量電路模型代替，便得到一個與原電路相對應的相量電路模型，這種模型對正弦交流電路的計算很有用處。

相量法復數(shù)阻抗與復數(shù)導納

正弦交流電路中一個不含獨立電源且與外電路無耦合的一端口網(wǎng)絡，其端上的電壓相量與電流相量的比值定義為該網(wǎng)絡的入端復數(shù)阻抗，簡稱阻抗。它的倒數(shù)定義為該網(wǎng)絡的入端復數(shù)導納，簡稱導納，分別用符號Z和Y表示。復數(shù)阻抗的實部稱為等效電阻，虛部稱為電抗，模稱為阻抗模，幅角稱為阻抗角,它們分別用符號R、X、|Z|、φ表示。復數(shù)導納的實部稱為等效電導，虛部稱為電納，模稱為導納模，幅角稱為導納角，它們分別用符號G、B、|Y|、φ表示，于是

Z =RjX=|Z|e^jφ

Y =GjB=|Y|e^jφ

顯然，阻抗模等于端口電壓振幅（有效值）與端口電流振幅（有效值）的比值，阻抗角等于端口電壓超前端口電流的角度；導納模等于端口電流振幅(有效值)與端口電壓振幅（有效值）的比值，導納角等于端口電流超前端口電壓的角度。

電阻元件、電感元件和電容元件都是最簡單的一端口網(wǎng)絡，若以Z_R、Z_L和Z_C表示三者的復數(shù)阻抗，則按定義分別是Z_R=R、Z_L=jωL和Z_C=1/jωC；若以Y_R、Y_L和Y_C表示三者的復數(shù)導納,則按定義分別是Y_R=G、Y_L=1/jωL和Y_C=jωC。

顯然，復數(shù)阻抗（復數(shù)導納）的引入能使原非同類的元件歸并為都以復數(shù)阻抗（復數(shù)導納）來表征的同類元件，復數(shù)阻抗（復數(shù)導納）在交流電路中的地位與直流電路中的電阻（電導）相當。

相量法用相量法計算正弦交流電路

用此法計算電路有兩種方式，一種方式是，先象暫態(tài)分析那樣寫出電路的微分方程，再將方程中的正弦量和對正弦量的運算按規(guī)則改換成相量和對相量的運算，得出與原微方程相對應的含相量的代數(shù)方程,然后,解此方程求出待求相量。另一種方式，也是通常所用的方式，則是在原電路的相量電路模型上,使用KCL和KVL的相量形式和電路元件電壓-電流關系的相量形式，如同計算直流電路那樣，直接列出含相量的代數(shù)方程，然后解此方程求出待求相量。兩種方式得到的解答完全一樣。有了相量便不難寫出原來需要求的正弦量。