邊界對(duì)應(yīng)定理邊界對(duì)應(yīng)定理的逆定理

定理2(邊界對(duì)應(yīng)定理的逆定理，判斷解析函數(shù)單葉性的充分條件)

設(shè)單連通區(qū)域D及G，分別是兩條圍線

的內(nèi)部，且設(shè)函數(shù)

滿足下列條件

(i)

在區(qū)域D內(nèi)解析，在

上連續(xù)；

(ii)

將c雙方單值地變成C，

則：(1)

在內(nèi)單葉；(2)

(從而

將D共形映射成G)。

證明設(shè)

為G內(nèi)任一點(diǎn)，我們證明

，而且方程

在c內(nèi)部只有一個(gè)根，根據(jù)輻角原理

(在z沿c的正向繞行一周的假定下)。由假設(shè)條件(ii)，這時(shí)

應(yīng)該沿

的正向或負(fù)向繞行一周。因此，起點(diǎn)在

終點(diǎn)在

上的向量

應(yīng)該轉(zhuǎn)角

，于是

負(fù)號(hào)顯然應(yīng)該除去(因?yàn)镹≥0)，因此我們肯定

必須沿

的正向(

的內(nèi)部在此方向的左邊)繞行，并且方程

在區(qū)域D內(nèi)只有一個(gè)根。

其次，設(shè)

位于

的外部，則必

，因?yàn)?

即方程

在D內(nèi)無(wú)根。

再設(shè)

為

上的任一點(diǎn)，我們證明方程

在D內(nèi)無(wú)根。假定D內(nèi)有一點(diǎn)

，使

，則可得一個(gè)以

為中心的圓周

，使對(duì)

內(nèi)部任意一點(diǎn)

，方程

在D內(nèi)有根(因

區(qū)域，

為其內(nèi)點(diǎn))。特別在

內(nèi)部取一點(diǎn)

位于

的外部，由第二段的證明，方程

在D內(nèi)無(wú)根，發(fā)生矛盾。

綜合上述討論可知函數(shù)

在D內(nèi)單葉，并將D共形映射為

的內(nèi)部G。

【例1】如果將函數(shù)

表成極坐標(biāo)的形式，令

則它把z平面上的圓周(見圖1)

變成心臟線

并且是雙方單值的。

由定理2(單葉性原理)，

將這個(gè)圓周的內(nèi)部共形映射成心臟線的內(nèi)部 。

2100433B

黎曼定理指出某些區(qū)域可用單葉函數(shù)共形映射成圓盤，但無(wú)法說(shuō)明已給區(qū)域與圓盤的邊界之間是否有對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于以約當(dāng)曲線為邊界的區(qū)域，有一個(gè)比較簡(jiǎn)單的結(jié)果。

定理1(邊界對(duì)應(yīng)定理)設(shè)

(1) 有界單連通區(qū)域D與G的邊界分別為圍線

；

(2)

將D共形映射成G；

則

可以擴(kuò)張成

，使在D內(nèi)F

，在

上

連續(xù)，并將c雙方單值且雙方連續(xù)地變成