非線性模型

Y與X之間存在線性關系，但是Y和參數(shù)

對于非線性回歸分析，只有參數(shù)的線性回歸分析才是重要的，因為變量的非線性可通過適當?shù)闹匦露x來解決 。

(1)Y與解釋變量不存在線。Y與未知參數(shù)也不存在線性關系，但可以通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性叫歸模型。

例1柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)。生產(chǎn)函數(shù)是指在一定時期內(nèi)，在技術水平不變的情況下，生產(chǎn)中所使用的各種生產(chǎn)要素的數(shù)量與所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的關系。也就是說，生產(chǎn)過程中總投入與總產(chǎn)出之間的一種函數(shù)關系。經(jīng)濟學中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)(C-D生產(chǎn)函數(shù))是指產(chǎn)出表示為技術、資本和勞動投入量的函數(shù)。該生產(chǎn)函數(shù)由美國數(shù)學家柯布(C.W.Cobb)和經(jīng)濟學家保羅·道格拉斯(Paul H.Douglas)共同創(chuàng)立而得名，是經(jīng)濟學中普遍使用的生產(chǎn)函數(shù)。其形式為：

式中，Y表示產(chǎn)出；K和L分別表示資本投入和勞動力投入，A表示技術系數(shù)，

將C-D生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)對數(shù)變換。轉換為如下形式：

(2)Y與X不存在線性關系，Y與未知參數(shù)也不存在線性關系，而且也不能通過適當?shù)淖儞Q將其化為標準的線性回歸模型。

在現(xiàn)實生活中，并非所有非線性函數(shù)形式都可以線性化，那些不能線性化的模型一般形式為：

如果解釋變量X的單位變動引起因變量的變化率

非線性模型的一般形式是：

Y與X之間不存在線性關系，但Y與參數(shù)

非線性模型是反映自變量與因變量間非線性關系的數(shù)學表達式。設隨機變量為Y， 若可表示為：

此結構稱為非線性模型， 其中

非線性模型的形式多種多樣， 依建立模型的方法不同可分為：①推理模型。根據(jù)具體學科理論揭示的變量間相互關系用數(shù)學分析的方法建立模型， 如Logistic模型等，這類模型具有一定的生物學基礎，其參數(shù)具有確定的生物學意義。②經(jīng)驗模型。對某些變量無法推理方法得到或經(jīng)推理得到但過于復雜的變量間關系，可利用適當?shù)臄?shù)學關系式直接擬合變量間關系，建立純經(jīng)驗性模型，如奶牛泌乳曲線等，這類模型的參數(shù)多數(shù)沒有直接的生物學意義， 使模型的應用受到一定的限制。

依描述變量間關系的常用數(shù)學函數(shù)形式分為：指數(shù)模型、對數(shù)模型、冪函數(shù)模型、Logistic模型、二次函數(shù)模型以及由此構成的復合模型等。

處理非線性模型首先是建立或選擇適當?shù)哪Ｐ?，然后是確定模型中所包含的參數(shù)， 其參數(shù)估計的基本原則仍是最小二乘估計，方法通常有三種：①變量變換法。通過某種數(shù)學轉換將非線性模型化為線性模型，即“曲線改直”或利用線性多項式逼近，該法簡單易行，具有一定的實用價值。②非線性回歸法。根據(jù)最小二乘原則使誤差平方和最小，對非線性模型直接求解，常用的是Gauss-Newton法及在此基礎上改進的Marquardt法，可通過各種迭代法直接估計模型常數(shù)，這是處理非線性模型最為常用的方法。③直接優(yōu)化法。直接利用非線性模型計算剩余平方和并以其最小為優(yōu)化目標函數(shù)尋求最優(yōu)回歸系數(shù)， 常用的是單純形優(yōu)化法。

在畜牧業(yè)中非線性模型常用于研究各種變量間的非線性回歸擬合、動物生長曲線、奶牛泌乳曲線及產(chǎn)蛋曲線等。隨著計算方法及手段的極大改進，非線性模型的應用得到迅速發(fā)展 。

假定根據(jù)理論或經(jīng)驗，已估計輸出變量與輸入變量之間的非線性表達式，但表達式的系數(shù)是未知的，要根據(jù)輸入輸出的n次觀測結果來確定系數(shù)的值。處理非線性回歸的基本方法是，通過變量變換，將非線性回歸化為線性回歸，然后用線性回歸方法處理。

非線性模型指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型為：

令

非線性模型對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型為：

令

非線性模型雙曲線函數(shù)模型

雙曲線函數(shù)模型為：

令

非線性模型S型曲線函數(shù)模型

S型曲線函數(shù)模型為：

令

非線性模型多項式模型

在只有一個自變量的情況下，多項式模型如下：

在非線性模型預測控制中，系統(tǒng)模型是非線性的，因此，相應的預測模型也是非線性的，設非線性系統(tǒng)的模型：

其中，

其中，i=1,2,...。

通過遞推，可以得到非線性系統(tǒng)的預測模型：

由于實際受控系統(tǒng)總包含某些不確定因素，利用上述模型預測，不能完全精確地描述對象的動態(tài)行為，因此可以在實測輸出的基礎上通過誤差預測和補償對預測模型進行反饋校正。記 k 時刻測得的實際輸出為 y(k)，則可由

其中，

式中， w( k i)為 k i 時刻的期望輸出，M，P 的含義與線性預測控制相同。這樣，在線的滾動優(yōu)化就是在閉環(huán)預測（下式）的約束下，

非線性模型預測控制采用線性化方法

線性化方法是研究非線性系統(tǒng)的常規(guī)方法。將非線性系統(tǒng)局部線性化主要是為了沿用線性系統(tǒng)中已有的成果，計算簡單，實時性好。對于非線性較強的系統(tǒng)，用單個線性化模型很難反映系統(tǒng)在大范圍內(nèi)的動、靜態(tài)特性，控制品質甚至穩(wěn)定性都難以保證。因此實際處理時，有以下三種線性化方法。

（1）將非線性機理模型在每個采樣點附近線性化，然后對線性化的模型采用線性的預測控制算法，其特點是在每個采樣時刻都采用新的模型，能盡量減小線性化帶來的誤差。但是頻繁的在線更換模型會導致需要反復計算相關矩陣參數(shù)，計算量加大，且不利于離線對控制器的參數(shù)進行優(yōu)化設計。

（2）多模型方法。顧名思義，就是引入?yún)^(qū)間近似的思想，用多個線性化的模型來描述同一個非線性的對象。多模型方法的優(yōu)點在于可以離線的計算大部分控制參數(shù)，難點則是如何確定模型切換的時機以及保證模型切換時的平穩(wěn)性。

（3）反饋線性化（即就是 I/O 擴展線性化）的方法，即對非線性系統(tǒng)引入非線性反饋補償律，使非線性系統(tǒng)對虛擬控制輸入量實現(xiàn)線性化，便可以使用線性的 MPC方法。也有許多非線性系統(tǒng)不滿足反饋線性化的條件，使其應用受到限制。

非線性模型預測控制利用各種特殊模型

常用的非線性模型包括 volterra 模型、Hammerstein 模型、Wiener 模型等。volterra模型為非線性對象的廣義脈沖響應模型，可以描述一類非線性對象的輸入輸出特性，實際應用中常采用正、負和雙階躍響應法建立系統(tǒng)的 volterra 模型。Hammerstein 模型和 Wiener 模型都是由一個非線性的靜態(tài)子系統(tǒng)和一個線性的動態(tài)子系統(tǒng)串聯(lián)而成，二者的區(qū)別是串聯(lián)的順序不同。

非線性模型預測控制基于神經(jīng)網(wǎng)絡的預測控制

神經(jīng)網(wǎng)絡以其分布式存儲、并行處理、良好的魯棒性、自適應性、自學習性，在控制界具有廣闊的應用前景。由于神經(jīng)網(wǎng)絡能夠以良好的精度逼近非線性函數(shù)，且基于神經(jīng)網(wǎng)絡的建模方法具有普遍性，因此在非線性預測控制中受到重視，相關的研究成果也比較多。

關于采用神經(jīng)網(wǎng)絡的預測控制，存在的困難也比較多，主要是還不能有效地進行多步預測，而通常來說多步預測的控制效果要明顯優(yōu)于單步預測。盡管將多個神經(jīng)網(wǎng)絡串聯(lián)可以得到多步的輸出預測，但這樣會增加控制器的復雜程度，直接影響控制量的求解。同時，如果需要在線進行模型辨識，那么在線的網(wǎng)絡訓練需要較長的時間，控制的實時性變差。

預測控制算法最初是對線性系統(tǒng)提出的。當對象存在弱非線性時，采用這種線性預測控制算法也是十分有效的，因為弱非線性可視為一種模型失配，其影響可通過系統(tǒng)的魯棒性設計加以克服；必要時，還可通過在線辨識和自校正策略修改模型和控制律，以適應因弱非線性而引起對象特征的變化。但是幾乎所有的實際控制系統(tǒng)都是非線性的，尤其是在實際的工業(yè)生產(chǎn)過程中，涉及的對象往往都是多輸入多輸出的復雜系統(tǒng)，具有很強的非線性，由于采用線性模型進行預測輸出與實際偏離較大，達不到優(yōu)化控制的目的，模型線性化這一方法顯然不適用，因而必須基于非線性模型進行預測和優(yōu)化。因此，提出了非線性模型預測控制方法。