龔曉斌圓坐標(biāo)法

自創(chuàng)新的弧線段放樣方法——龔曉斌圓坐標(biāo)法

2009年初，團(tuán)隊(duì)擔(dān)負(fù)的某重點(diǎn)國防工程，工期十分緊迫，時(shí)間節(jié)點(diǎn)要求異常嚴(yán)格。龔曉斌發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的弧線段放樣方法費(fèi)時(shí)費(fèi)力，成為制約施工進(jìn)度的一個(gè)“瓶頸”。他查閱了大量的技術(shù)資料，多次組織官兵討論集智攻關(guān)，在反復(fù)探索、多次實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，總結(jié)發(fā)明出一種準(zhǔn)確度更高、使用更便捷的圓坐標(biāo)測量放樣新方法，將原來2小時(shí)的弧線段放線時(shí)間縮短為40分鐘，有效解決了弧線段放線難度大、超欠挖控制難、計(jì)算公式繁雜等難題，大大提高了施工速度。為鼓勵(lì)官兵大膽創(chuàng)新，團(tuán)黨委召開了一次專門會(huì)議，決定將這項(xiàng)革新成果命名為“龔曉斌圓坐標(biāo)法”?！?/p>

1：柱坐標(biāo)系(r,φ,z)與直角坐標(biāo)系(x,y,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

x=rcosφ

y=rsinφ

z=z

2：同樣的，直角坐標(biāo)系（x，y，z）與柱坐標(biāo)系(r,φ,z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

r=

φ=arctan(y/x)

z=z

如圖右，M 點(diǎn)的圓柱坐標(biāo)是（ρ，θ，z） 。

ρ是 M 點(diǎn)與 z-軸的垂直距離(相當(dāng)于二維極坐標(biāo)中的半徑r)，θ是線 OM 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角，z與直角坐標(biāo)的z等值，即M點(diǎn)距x-y平面的距離。

簡單的說，有這個(gè)對應(yīng)關(guān)系。x=ρ cosθ

y=ρ sinθ

z=z

不等同于笛卡爾直角坐標(biāo)系中采用兩個(gè)正交軸的垂直投影進(jìn)行定位（x,y），極坐標(biāo)沒有X、Y軸，,坐標(biāo)中某點(diǎn)表示為 D 極坐標(biāo)法幾何意義

用極坐標(biāo)解決幾何問題的方法。在直角坐標(biāo)系中（x,y），x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替，ρ=(x^2 y^2)^0.5,從而得到新的方程。這樣的方程常常用來解決曲線問題，如橢圓曲線、紐線、螺線等等，可以使解題更加清晰簡便。

設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為 r=r（θ）。

則C的參數(shù)方程為 { x=r（θ）cosθ

y=r（θ）sinθ

其中 θ為極角。

由參數(shù)方程求導(dǎo)法，得曲線C的切線對x軸的斜率為 yˊ=rˊ(θ)sinθ r(θ)cosθ∕rˊ(θ)cosθ-r(θ)sinθ=rˊtanθ r∕rˊ-rtanθ

設(shè)曲線C在點(diǎn)M（ r，θ）處的極半徑OM與切線MT間的夾角為 Ψ，則 Ψ=α-θ（如圖）

故有 tanΨ=tan（α-θ）=yˊ-tanθ∕1 yˊtanθ

將 yˊ代入，化簡得 tanΨ=r（θ）∕rˊ （θ）

這一重要公式表明：在極坐標(biāo)系下，曲線的極半徑 r（θ）與其導(dǎo)數(shù) rˊ（θ）之比等于極半徑與曲線切線之夾角的正切。

極坐標(biāo)法方程

用極坐標(biāo)系描述的曲線方程稱作極坐標(biāo)方程，通常表示為r為自變量θ的函數(shù)。

極坐標(biāo)方程經(jīng)常會(huì)表現(xiàn)出不同的對稱形式，如果r(?θ) = r(θ)，則曲線關(guān)于極點(diǎn)(0°/180°)對稱，如果r(π-θ) = r(θ)，則曲線關(guān)于極點(diǎn)(90°/270°)對稱，如果r(θ?α) = r(θ)，則曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°。

圓

在極坐標(biāo)系中，圓心在(a, φ) 半徑為 R的圓的方程為:r^2 a^2- 2*r*a*cos(θ - φ) = R^2

該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r=a表示一個(gè)以極點(diǎn)為中心半徑為a的圓。

直線

經(jīng)過極點(diǎn)的射線由如下方程表示 ：

θ = φ，

其中φ為射線的傾斜角度，若 m為直角坐標(biāo)系的射線的斜率，則有φ = arctan m。 任何不經(jīng)過極點(diǎn)的直線都會(huì)與某條射線垂直。 這些在點(diǎn)(r0, φ)處的直線與射線θ = φ 垂直，其方程為r(θ) = r_0*sec(θ - φ)。

玫瑰線

極坐標(biāo)的玫瑰線(polar rose)是數(shù)學(xué)曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標(biāo)方程來描述，方程如下：

r(θ) = a*cos kθ 或

r(θ) = a sin kθ，

如果k是整數(shù)，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)那么曲線將會(huì)是k個(gè)花瓣，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)曲線將是2k個(gè)花瓣。如果k為非整數(shù)，將產(chǎn)生圓盤(disc)狀圖形，且花瓣數(shù)也為非整數(shù)。注意：該方程不可能產(chǎn)生4的倍數(shù)加2（如2，6，10……）個(gè)花瓣。變量a代表玫瑰線花瓣的長度。

阿基米德螺線

右圖為方程 r(θ)= θ for 0 < θ < 6π的一條阿基米德螺線。

阿基米德螺線在極坐標(biāo)里使用以下方程表示:r(θ) = a bθ，

改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點(diǎn)處平滑地連接。把其中一條翻轉(zhuǎn) 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。

圓錐曲線

圓錐曲線方程如下：

r = l / (1 e*cosθ)

其中l(wèi)表示半徑，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。

或者r=e*p/ (1 e*cosθ)

其中 e表示離心率， p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

其他曲線

由于坐標(biāo)系統(tǒng)是基于圓環(huán)的，所以許多有關(guān)曲線的方程、極坐標(biāo)要比直角坐標(biāo)系(笛卡爾形式)簡單得多。比如雙紐線、心臟線。

極坐標(biāo)法應(yīng)用

行星運(yùn)動(dòng)的 開普勒定律

極坐標(biāo)提供了一個(gè)表達(dá)開普拉行星運(yùn)行定律的自然數(shù)的方法。

1.開普勒第一定律：認(rèn)為環(huán)繞一顆恒星運(yùn)行的行星軌道形成了一個(gè)橢圓，這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在質(zhì)心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用于表達(dá)這個(gè)橢圓。

2. 開普勒第二定律，即等域定律：認(rèn)為連接行星和它所環(huán)繞的恒星的線在等時(shí)間間隔所劃出的區(qū)域是面積相等的，即ΔA/Δt是常量。這些等式可由牛頓運(yùn)動(dòng)定律推得。在開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律中有相關(guān)運(yùn)用極坐標(biāo)的詳細(xì)推導(dǎo)。

極坐標(biāo)法測定界址點(diǎn)

已知點(diǎn)A上安置在經(jīng)緯儀等儀器，后視另一已知點(diǎn)B定向，然后觀測至各界址點(diǎn)的方向,從而可算得各方向與后視方向的夾角?，用測距儀測量測站點(diǎn)至各界址點(diǎn)的距離D。

圖2極坐標(biāo)法測定界址點(diǎn)

采用極坐標(biāo)法測量時(shí)，界址點(diǎn)坐標(biāo)可按下式計(jì)算：

其中：Xi 、Yi——待測界址點(diǎn)坐標(biāo)

XA、YA——測站點(diǎn)已知坐標(biāo)

D——測站點(diǎn)至待測界址點(diǎn)距離

α0——已知方位角

βi——觀測角

極坐標(biāo)法其它介紹

直角坐標(biāo)

互相垂直，并且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸。其中橫軸為X軸，縱軸為Y軸。這樣我們就說在平面上建立了平面直角坐標(biāo)系，簡稱直角坐標(biāo)系

球坐標(biāo)是三維坐標(biāo)系的一種，用以確定三維空間中點(diǎn)、線、面以及體的位置，它以坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，由方位角、仰角和距離構(gòu)成。

柱坐標(biāo)系

柱坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)變量是 r、φ、z。與直角坐標(biāo)系相同，柱坐標(biāo)系中也有一個(gè)z變量。各變量的變化范圍是：

r∈[0, ∞), 　φ∈[0, 2π], 　z∈R 　其中　x=rcosφ 　y=rsinφ 　z=z2100433B