角平分線長公式第三形式

角平分線長公式公式

△ABC中，角平分線

角平分線長公式推導(dǎo)過程

證明。如圖4，設(shè)AB、AC、AD長a、b、f。易知

即

于是

證畢。

外角平分線長公式

公式

下面不加證明地給出公式。在△ABC中，∠A的外角平分線記為

2100433B

角平分線長公式公式

三角形ABC的角平分線為AD，D在CB上。則

角平分線長公式推導(dǎo)過程

證明。如圖3，延長AC到E，使CE=CD，連接DE，則AE=AC CD，

即

又

則

于是

又

由角平分線定理得

即

代入①中得

證畢。

角平分線長公式公式

在△ABC中，∠A的角平分線記為

其中p是半周長。

角平分線長公式推導(dǎo)過程

證明。法一。如圖1，我們先證明

由角平分線定理可得

由余弦定理，

把

即

設(shè)

于是

其他角平分線長度同理可證。

證畢。

提要。法二。運(yùn)用斯特瓦爾特定理，可得證明。

已知，如圖4，AM為△ABC的角平分線，求證:

角平分線定理面積法

由三角形面積公式，得

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

∴sin∠BAM=sin∠CAM

∴S△ABM:S△ACM=AB:AC

根據(jù)：等高底共線，面積比=底長比

可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，則AB:AC=MB:MC

角平分線定理相似法

過C作CN∥AB，交AM的延長線于N

∵CN∥AB

∴∠ABC=∠BCN

又 ∠AMB=∠CMN

∴△ABM∽△NCM

∴AB:NC=BM:CM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAN=∠CAN

又 ∠BAN=∠ANC

∴∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB:AC=MB:MC

（過M作MN∥AB交AC于N也可證明）

角平分線定理正弦定理法

作△ABC的外接圓，AM交圓于D

由正弦定理，得

AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,

AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

又∠AMB ∠AMC=180°

∴sin∠BAM=sin∠CAM

sin∠AMB=sin∠AMC

∴AB:AC=MB:MC

三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)外角平分線內(nèi)、外分對邊與其延長線所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。 2100433B