角平分線定理

已知，如圖4，AM為△ABC的角平分線，求證:

角平分線定理面積法

由三角形面積公式，得

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

∴sin∠BAM=sin∠CAM

∴S△ABM:S△ACM=AB:AC

根據(jù)：等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比

可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，則AB:AC=MB:MC

角平分線定理相似法

過C作CN∥AB，交AM的延長(zhǎng)線于N

∵CN∥AB

∴∠ABC=∠BCN

又 ∠AMB=∠CMN

∴△ABM∽△NCM

∴AB:NC=BM:CM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAN=∠CAN

又 ∠BAN=∠ANC

∴∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB:AC=MB:MC

（過M作MN∥AB交AC于N也可證明）

角平分線定理正弦定理法

作△ABC的外接圓，AM交圓于D

由正弦定理，得

AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,

AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

又∠AMB ∠AMC=180°

∴sin∠BAM=sin∠CAM

sin∠AMB=sin∠AMC

∴AB:AC=MB:MC

三角形內(nèi)外角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)外角平分線內(nèi)、外分對(duì)邊與其延長(zhǎng)線所得的兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。 2100433B

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的角平分線。

三角形的一個(gè)角（內(nèi)角）的角平分線交其對(duì)邊的點(diǎn)所連成的線段，叫做這個(gè)三角形的一條角平分線。

角平分線定理定理1

角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。

證明：如圖1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD

∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分別為B、C

∴∠ABD=∠ACD=90°

又 AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴CD=BD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

逆定理：在角的內(nèi)部到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上。

證明：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC

∵DB⊥AB，

∴∠DBA=90

同理∴∠DCA=90

在RT△DBA和RT△DCA中，

{DB=DC(已知）

AD=AD（公共邊）

∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）

∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

角平分線定理定理2

三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。

證明：如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線

過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF(定理1)

∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

過點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G

∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

如果三角形一邊上的某個(gè)點(diǎn)與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對(duì)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，那么該點(diǎn)與對(duì)角頂點(diǎn)的連線是三角形的一條角平分線。

證明略。

角平分線定理角平分線長(zhǎng)

由定理2和斯特瓦爾特定理可以推導(dǎo)出三角形內(nèi)的角平分線長(zhǎng)公式。

如右圖3，在△ABC中，AD平分∠BAC

可設(shè)AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，則BC=u v

由定理2我們知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯臺(tái)沃特定理，有w2=(x2v y2u)/(u v)-uv

用u=xv/y,v=uy/x替換原式中的u和v

即得AD2=xy-uv=AB×AC-BD×DC

角平分線長(zhǎng)公式公式

三角形ABC的角平分線為AD，D在CB上。則

角平分線長(zhǎng)公式推導(dǎo)過程

證明。如圖3，延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連接DE，則AE=AC CD，

即

又

則

于是

又

由角平分線定理得

即

代入①中得

證畢。

角平分線長(zhǎng)公式公式

在△ABC中，∠A的角平分線記為

其中p是半周長(zhǎng)。

角平分線長(zhǎng)公式推導(dǎo)過程

證明。法一。如圖1，我們先證明

由角平分線定理可得

由余弦定理，

把

即

設(shè)

于是

其他角平分線長(zhǎng)度同理可證。

證畢。

提要。法二。運(yùn)用斯特瓦爾特定理，可得證明。