逆矩陣性質(zhì)

1 矩陣A可逆的充要條件是A的行列式不等于0。

2 可逆矩陣一定是方陣。

3 如果矩陣A是可逆的，A的逆矩陣是唯一的。

4 可逆矩陣也被稱為非奇異矩陣、滿秩矩陣。

5 兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

6 可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣也可逆。

7 矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。

A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩陣A的逆矩陣，其中|A|為矩陣A的行列式，A*為矩陣A的伴隨矩陣。

逆矩陣的另外一種常用的求法:

(A|E)經(jīng)過初等變換得到(E|A^(-1))。

注意:初等變化只用行(列)運算，不能用列(行)運算。E為單位矩陣。

一般計算中，或者判斷中還會遇到以下11種情況來判斷是否為可逆矩陣:

1 秩等于行數(shù)

2 行列式不為0

3 行向量(或列向量)是線性無關組

4 存在一個矩陣,與它的乘積是單位陣

5 作為線性方程組的系數(shù)有唯一解

6 滿秩

7 可以經(jīng)過初等行變換化為單位矩陣

8 伴隨矩陣可逆

9 可以表示成初等矩陣的乘積

10 它的轉(zhuǎn)置矩陣可逆

11 它去左(右)乘另一個矩陣,秩不變

A是可逆矩陣的充分必要條件是∣A∣≠0，即可逆矩陣就是非奇異矩陣。(當∣A∣=0時，A稱為奇異矩陣)

inv(a)或a^-1。

例如:

>> a =

8 4 9

2 3 5

7 6 1

>> a^-1

ans =

0.1636 -0.3030 0.0424

-0.2000 0.3333 0.1333

0.0545 0.1212 -0.0970

>> inv(a)

ans =

0.1636 -0.3030 0.0424

-0.2000 0.3333 0.1333

0.0545 0.1212 -0.0970

以下是對MATLAB中Inv用法的解釋。

原文(來自matlab help doc)

In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverse of a matrix. A frequent misuse of inv

arises when solving the system of linear equations Ax=B .

One way to solve this is with x = inv(A)*B.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = A\b.

實際上，很少需要矩陣逆的精確值。在解方程 Ax=B的時候可以使用x = inv(A)*B，

但通常我們求解這種形式的線性方程時，不必要求出A的逆矩陣，在MATLAB中精度更高，速度更快的方法是用左除--x = A\b。

另外，用LU分解法的速度更快，只是要多寫一條LU分解語句。

速度可以通過matlab中tic和toc來估算運行的時間。

《廣義逆矩陣的理論與方法》除了介紹廣義逆矩陣的一些基本知識外，主要反映在前述關于廣義逆矩陣的理論、計算與應用的諸多方面的新成果。并將《廣義逆矩陣的理論與方法》奉獻給有志于廣義逆矩陣的學習與研究的讀者，以期對廣義逆矩陣研究的進一步發(fā)展有所裨益?！稄V義逆矩陣的理論與方法》可以作為高等院校數(shù)學、計算數(shù)學、應用數(shù)學等專業(yè)高年級學生與研究生的一學期用教材(約60學時)，也可供高校其他專業(yè)師生與工程技術人員自學參考之用。

《廣義逆矩陣及其應用》系統(tǒng)地論述廣義逆矩陣的理論、方法和應用。全書共分十章。第一章引進了廣義逆矩陣的定義，介紹了歷史發(fā)展概況。第二章從適于《廣義逆矩陣及其應用》討論的角度概述了矩陣論中的若干預備知識。接下來的六章系統(tǒng)地討論了由Moore Penrose方程所定義的各種廣義逆的性質(zhì)、不等式、計算方法及一些直接應用。最后兩章介紹廣義逆在概率統(tǒng)計、數(shù)學規(guī)劃、數(shù)值計算和網(wǎng)絡理論等學科的應用。書后附有百余篇參考文獻。

《廣義逆矩陣及其應用》讀者對象為高等院校數(shù)學、物理、工程、經(jīng)濟等有關專業(yè)的教師、高年級學生和研究生，也可供所有使用矩陣這一數(shù)學工具的廣大科技工作者閱讀.