能量均分定理基本概念及簡(jiǎn)易例子

參見(jiàn)：動(dòng)能和理想氣體

應(yīng)用波爾茲曼統(tǒng)計(jì)方法可以得到：氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子任何一個(gè)自由度的平均能量都相等，均為kT/2,這就是能量按自由度均分定理，簡(jiǎn)稱(chēng)能量均分定理。名字里面的“均分”是指“攤分或類(lèi)似于攤分”。能量均分定理的原始概念是，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到熱平衡時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)能由各獨(dú)立分量所等分。均分定理也為這些能量做出量化的預(yù)測(cè)。例如它預(yù)測(cè)惰性氣體的每一個(gè)原子，當(dāng)于溫度T達(dá)至熱平衡時(shí)，會(huì)有平移平均動(dòng)能(3/2)K_BT，其中K_B為玻爾茲曼常數(shù)。隨此引出的是，在等溫時(shí)氙的重原子速度會(huì)比氦的較輕原子要低。圖二顯示的是四種惰性氣體原子速度的麥克斯韋-玻爾茲曼分布。

在這例子中，關(guān)鍵點(diǎn)是動(dòng)能是速度的二次齊函數(shù)。均分定理顯示出于熱平衡時(shí)，任何在能量中只以二次出現(xiàn)的自由度（例如是一粒子的位置或速度的一個(gè)分量）有著等于?K_BT的平均能量，并因此向系統(tǒng)的熱容提供了?K_B。這個(gè)結(jié)果有著許多的應(yīng)用。

能量均分定理固體的比熱容

均分定理的一個(gè)重要應(yīng)用是在于晶狀固體的比熱容。如此固體的每一個(gè)原子都能夠在三個(gè)獨(dú)立的方向下振蕩，因此該固體可以被視為一個(gè)擁有各自獨(dú)立的3N個(gè)簡(jiǎn)諧振子的系統(tǒng)，其中N為晶格中的原子數(shù)。由于每一個(gè)諧振子都有平均能量k_BT，所以固體的平均總能量為3Nk_BT，而比熱容則為3Nk_B。如取N為阿伏伽德羅常數(shù)N_A，并使用R = N_Ak_B這個(gè)聯(lián)系氣體常數(shù)R及玻爾茲曼常數(shù)k_B的關(guān)系式，可得固體摩爾比熱容的杜隆-珀蒂定律的一個(gè)解釋?zhuān)芍赋鼍Ц裰忻磕柕脑訜崛轂?i>3R≈ 6cal/(mol·K)。

然而，由于量子效應(yīng)的關(guān)系，這條定律在低溫時(shí)并不準(zhǔn)確；這也不符合實(shí)驗(yàn)導(dǎo)出的熱力學(xué)第三定律，第三定律指出摩爾比熱容于絕對(duì)零度時(shí)必為零。艾爾伯特·愛(ài)因斯坦（1907年）及彼得·德拜（1911年）在基礎(chǔ)上加入了量子效應(yīng)，發(fā)展出一套更準(zhǔn)確的理論。

固體中每個(gè)原子的振動(dòng)不是獨(dú)立的，可以用一組組的耦合振子作為模型。如此振蕩子的模型可以被分解成簡(jiǎn)振模，這跟鋼琴弦的振動(dòng)模態(tài)及管風(fēng)琴的共振模態(tài)是相近的。另一方面，均分定理被應(yīng)用于這種系統(tǒng)時(shí)一般都會(huì)失敗，因?yàn)檎ＤB(tài)間是沒(méi)有能量交換的。在一個(gè)非常的情況下，模態(tài)獨(dú)立且它們的能量獨(dú)立地守恒。這個(gè)顯示出有某種的能量混合，正式叫做遍歷性，對(duì)于均分定理的成立是十分重要的。

在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，能量均分定理（Equipartition Theorem）是一種聯(lián)系系統(tǒng)溫度及其平均能量的基本公式。能量均分定理又被稱(chēng)作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或僅稱(chēng)均分。能量均分的初始概念是熱平衡時(shí)能量被等量分到各種形式的運(yùn)動(dòng)中；例如，一個(gè)分子在平移運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均動(dòng)能應(yīng)等于其做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的平均動(dòng)能。

能量均分定理能夠作出定量預(yù)測(cè)。類(lèi)似于均功定理，對(duì)于一個(gè)給定溫度的系統(tǒng)，利用均分定理，可以計(jì)算出系統(tǒng)的總平均動(dòng)能及勢(shì)能，從而得出系統(tǒng)的熱容。均分定理還能分別給出能量各個(gè)組分的平均值，如某特定粒子的動(dòng)能又或是一個(gè)彈簧的勢(shì)能。例如，它預(yù)測(cè)出在熱平衡時(shí)理想氣體中的每個(gè)粒子平均動(dòng)能皆為(3/2)k_BT，其中k_B為玻爾茲曼常數(shù)而T為溫度。更普遍地，無(wú)論多復(fù)雜也好，它都能被應(yīng)用于任何處于熱平衡的經(jīng)典系統(tǒng)中。能量均分定理可用于推導(dǎo)經(jīng)典理想氣體定律，以及固體比熱的杜隆-珀蒂定律。它亦能夠應(yīng)用于預(yù)測(cè)恒星的性質(zhì)，因?yàn)榧词箍紤]相對(duì)論效應(yīng)的影響，該定理依然成立。

盡管均分定理在一定條件下能夠?qū)ξ锢憩F(xiàn)象提供非常準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，但是當(dāng)量子效應(yīng)變得顯著時(shí)（如在足夠低的溫度條件下），基于這一定理的預(yù)測(cè)就變得不準(zhǔn)確。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)熱能k_BT比特定自由度下的量子能級(jí)間隔要小的時(shí)候，該自由度下的平均能量及熱容比均分定理預(yù)測(cè)的值要小。當(dāng)熱能比能級(jí)間隔小得多時(shí)，這樣的一個(gè)自由度就說(shuō)成是被“凍結(jié)”了。比方說(shuō)，在低溫時(shí)很多種類(lèi)的運(yùn)動(dòng)都被凍結(jié)，因此固體在低溫時(shí)的熱容會(huì)下降，而不像均分定理原測(cè)的一般保持恒定。對(duì)十九世紀(jì)的物理學(xué)家而言，這種熱容下降現(xiàn)象是表明經(jīng)典物理學(xué)不再正確，而需要新的物理學(xué)的第一個(gè)征兆。均分定理在預(yù)測(cè)電磁波的失?。ū环Q(chēng)為“紫外災(zāi)變”）導(dǎo)致普朗克提出了光本身被量子化而成為光子，而這一革命性的理論對(duì)刺激量子力學(xué)及量子場(chǎng)論的發(fā)展起到了重要作用。

動(dòng)能均分這個(gè)概念最早是在1843年，或更準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)是1845年，由約翰·詹姆斯·瓦塔斯頓提出的。于1859年，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋主張氣體的動(dòng)熱能由線性及旋轉(zhuǎn)能量所等量攤分于1876年，路德維?！げ柶澛虮砻髁似骄芰渴潜灰幌到y(tǒng)中各獨(dú)立分量所等分，而將原理進(jìn)一步擴(kuò)展。玻爾茲曼亦應(yīng)用了均分定理去為固體比熱容的杜隆-珀蒂定律提出了一個(gè)理論解釋。

能量均分定理的歷史與摩爾比熱容的歷史是密不可分的，兩者都是在十九世紀(jì)時(shí)被研究的。于1819年，法國(guó)物理學(xué)家皮埃爾·路易斯·杜隆與阿勒克西斯·泰雷塞·珀蒂發(fā)現(xiàn)了所有室溫下的固體比熱容幾乎都是相等的，約為6cal/(mol·K)。他們的定律曾在多年間被用作量度原子質(zhì)量的一種技巧，然而，后來(lái)詹姆斯·杜瓦及海因里?！し蚶锏吕锵！ろf伯的研究表明杜隆-珀蒂定律只于高溫時(shí)成立；在低溫時(shí)或像金剛石這種異常地硬的固體，比熱還要再低一點(diǎn)。

氣體比熱的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)也引起了對(duì)均分定理是否有效的質(zhì)疑。定理預(yù)測(cè)簡(jiǎn)單單原子氣體的摩爾比熱容應(yīng)約為3cal/(mol·K)，而雙原子氣體則約為7cal/(mol·K)。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了預(yù)測(cè)的前者，但卻發(fā)現(xiàn)雙原子氣體的典型摩爾比熱容約為5cal/(mol·K)，并于低溫時(shí)下跌到約3cal/(mol·K)。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋于1875年指出實(shí)驗(yàn)與均分定理的不合比這些數(shù)字暗示的要壞得多；由于原子有內(nèi)部部分，熱能應(yīng)該走向這些內(nèi)部部分的運(yùn)動(dòng)，使得單原子及雙原子的比熱預(yù)測(cè)值比3cal/(mol·K)7cal/(mol·K)要高得多。

第三個(gè)有關(guān)的不符之處是金屬的比熱。根據(jù)經(jīng)典德魯?shù)履Ｐ停饘匐娮拥呐e止跟幾乎理想的氣體一樣，因此它們應(yīng)該向(3/2)N_ek_B的熱容，其中N_e為電子的數(shù)量。不過(guò)實(shí)驗(yàn)指出電子對(duì)熱容的供給并不多：很多的金屬的摩爾比熱容與絕緣體幾乎一樣。

數(shù)個(gè)說(shuō)明均分失敗原因的解釋被提出了。玻爾茲曼辯護(hù)他的均分定理推導(dǎo)是正確的，但就提出氣體可能因?yàn)榕c以太相互作用而不處于熱平衡狀態(tài)。由于與實(shí)驗(yàn)不符，開(kāi)爾文勛爵提出均分定理的推導(dǎo)一定是不定確的，但卻說(shuō)不出什么不正確。反而瑞利勛爵提出一個(gè)更徹底的看法，說(shuō)均分定理及實(shí)驗(yàn)時(shí)系統(tǒng)處于熱平衡的假設(shè)這兩者都正確；為使兩者相符，他指出需要一個(gè)能為均分定理提供“從破壞性的簡(jiǎn)單中逃走的去路”的新原理。艾爾伯特·愛(ài)因斯坦就提供了這條去路，于1907年他表明了這些比熱的異數(shù)都是由量子效應(yīng)引起的，尤其是固體彈性模態(tài)能量的量子化。愛(ài)因斯坦用了均分定理的失敗作為需要一個(gè)新物質(zhì)量子理論的論據(jù)。瓦爾特·能斯特于1910年在低溫的比熱量度支持了愛(ài)因斯坦的理論，并引起了物理學(xué)家們對(duì)量子理論的廣泛承認(rèn)。

能量均分定理遍歷性需求

參見(jiàn)：遍歷性、混沌理論和柯?tīng)柲缏宸?- 阿諾德 - 莫澤定理

均分定律只對(duì)處于熱平衡的遍歷系統(tǒng)有效，這意味著同一能量的態(tài)被遷移的可能性必然一樣。故此，系統(tǒng)一定要可以讓它所有各形態(tài)的能量能夠互相交換，或在正則系綜中跟一熱庫(kù)一起。已被證明為遍歷的系統(tǒng)數(shù)量不多；雅科夫·西奈的硬球系統(tǒng)是一個(gè)有名的例子。讓隔離系統(tǒng)保證其遍歷性——因而，均分定理——的需求已被研究過(guò)，同時(shí)研究還推動(dòng)了動(dòng)力系統(tǒng)混沌理論的發(fā)展。一混沌哈密頓系統(tǒng)不一定是遍歷系統(tǒng)，盡管假定它是通常也足夠準(zhǔn)確。

有時(shí)候能量并不由它的各種形式所攤分，且此時(shí)均分定理在微正則系綜不成立，耦合諧波振蕩器系統(tǒng)就是在這狀況下常被引用的一個(gè)例子。如果系統(tǒng)跟外界隔絕，那每一個(gè)正常模態(tài)的能量是恒定的；能量并不由一個(gè)模態(tài)傳遞到另一模態(tài)的。因此在這樣一個(gè)系統(tǒng)中均分定理無(wú)效；每一個(gè)模態(tài)能量的量都被它的起始值所固定。如果能量函數(shù)中有著足夠強(qiáng)的非線性量的時(shí)候，能量可能可以在正常模態(tài)中傳遞，使系統(tǒng)走向遍歷并使均分定律有效。然而，柯?tīng)柲缏宸?- 阿諾德 - 莫澤定理明確指出除非擾動(dòng)夠強(qiáng)，否則能量不會(huì)交換；如擾動(dòng)小的話，最低限度能量會(huì)繼續(xù)受困于一些模態(tài)中。

能量均分定理量子效應(yīng)引起的失敗

參見(jiàn)：紫外災(zāi)變、量子力學(xué)史和全同粒子

當(dāng)熱能k_BT比能級(jí)間的差要小得多的時(shí)候，均分法則就會(huì)失效。均分此時(shí)不再成立，是因?yàn)槟芗?jí)組成平滑連續(xù)能譜的這個(gè)假設(shè)跟實(shí)際情況不近似，而這假設(shè)在上面均分定理推導(dǎo)中有用到。歷史上，經(jīng)典均分定理在解釋比熱及黑體輻射時(shí)的失敗，對(duì)表明需要一套物質(zhì)及輻射的新理論（即量子力學(xué)及量子場(chǎng)論）起了關(guān)鍵性的作用。

• 均功定理

• 分子運(yùn)動(dòng)論

• 統(tǒng)計(jì)力學(xué)

• 量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)

均分型干式蒸發(fā)器，它包括管板、換熱管、出水口、折流板、進(jìn)水口和筒體，在換熱管的進(jìn)液口連接有分液銅管，在分液銅管前設(shè)有制冷劑分配器、換熱管之間通過(guò)小彎頭連接。

在換熱管的出口處設(shè)有氣體管。本實(shí)用新型得到的均分型干式蒸發(fā)器，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，十分便于生產(chǎn)制作。尤其在小型冷熱水機(jī)組中，制冷劑流量較小，所需的分配路數(shù)較少，因此所需的分液銅管和小彎頭較少，其所具有的優(yōu)勢(shì)更加明顯。也擴(kuò)大了干式蒸發(fā)器的使用范圍。特別是它具有制冷劑分配均勻，流動(dòng)阻力小等優(yōu)點(diǎn)，可應(yīng)用于多流程換熱器中，更適于小型冷熱水機(jī)組換熱器。2100433B