能量均分定理歷史

動能均分這個概念最早是在1843年，或更準確地說應(yīng)是1845年，由約翰·詹姆斯·瓦塔斯頓提出的。于1859年，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋主張氣體的動熱能由線性及旋轉(zhuǎn)能量所等量攤分于1876年，路德維?！げ柶澛虮砻髁似骄芰渴潜灰幌到y(tǒng)中各獨立分量所等分，而將原理進一步擴展。玻爾茲曼亦應(yīng)用了均分定理去為固體比熱容的杜隆-珀蒂定律提出了一個理論解釋。

能量均分定理的歷史與摩爾比熱容的歷史是密不可分的，兩者都是在十九世紀時被研究的。于1819年，法國物理學家皮埃爾·路易斯·杜隆與阿勒克西斯·泰雷塞·珀蒂發(fā)現(xiàn)了所有室溫下的固體比熱容幾乎都是相等的，約為6cal/(mol·K)。他們的定律曾在多年間被用作量度原子質(zhì)量的一種技巧，然而，后來詹姆斯·杜瓦及海因里?！し蚶锏吕锵！ろf伯的研究表明杜隆-珀蒂定律只于高溫時成立；在低溫時或像金剛石這種異常地硬的固體，比熱還要再低一點。

氣體比熱的實驗觀測也引起了對均分定理是否有效的質(zhì)疑。定理預(yù)測簡單單原子氣體的摩爾比熱容應(yīng)約為3cal/(mol·K)，而雙原子氣體則約為7cal/(mol·K)。實驗驗證了預(yù)測的前者，但卻發(fā)現(xiàn)雙原子氣體的典型摩爾比熱容約為5cal/(mol·K)，并于低溫時下跌到約3cal/(mol·K)。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋于1875年指出實驗與均分定理的不合比這些數(shù)字暗示的要壞得多；由于原子有內(nèi)部部分，熱能應(yīng)該走向這些內(nèi)部部分的運動，使得單原子及雙原子的比熱預(yù)測值比3cal/(mol·K)7cal/(mol·K)要高得多。

第三個有關(guān)的不符之處是金屬的比熱。根據(jù)經(jīng)典德魯?shù)履Ｐ停饘匐娮拥呐e止跟幾乎理想的氣體一樣，因此它們應(yīng)該向(3/2)N_ek_B的熱容，其中N_e為電子的數(shù)量。不過實驗指出電子對熱容的供給并不多：很多的金屬的摩爾比熱容與絕緣體幾乎一樣。

數(shù)個說明均分失敗原因的解釋被提出了。玻爾茲曼辯護他的均分定理推導是正確的，但就提出氣體可能因為與以太相互作用而不處于熱平衡狀態(tài)。由于與實驗不符，開爾文勛爵提出均分定理的推導一定是不定確的，但卻說不出什么不正確。反而瑞利勛爵提出一個更徹底的看法，說均分定理及實驗時系統(tǒng)處于熱平衡的假設(shè)這兩者都正確；為使兩者相符，他指出需要一個能為均分定理提供“從破壞性的簡單中逃走的去路”的新原理。艾爾伯特·愛因斯坦就提供了這條去路，于1907年他表明了這些比熱的異數(shù)都是由量子效應(yīng)引起的，尤其是固體彈性模態(tài)能量的量子化。愛因斯坦用了均分定理的失敗作為需要一個新物質(zhì)量子理論的論據(jù)。瓦爾特·能斯特于1910年在低溫的比熱量度支持了愛因斯坦的理論，并引起了物理學家們對量子理論的廣泛承認。

參見：動能和理想氣體

應(yīng)用波爾茲曼統(tǒng)計方法可以得到：氣體處于平衡態(tài)時，分子任何一個自由度的平均能量都相等，均為kT/2,這就是能量按自由度均分定理，簡稱能量均分定理。名字里面的“均分”是指“攤分或類似于攤分”。能量均分定理的原始概念是，當系統(tǒng)達到熱平衡時，系統(tǒng)的總動能由各獨立分量所等分。均分定理也為這些能量做出量化的預(yù)測。例如它預(yù)測惰性氣體的每一個原子，當于溫度T達至熱平衡時，會有平移平均動能(3/2)K_BT，其中K_B為玻爾茲曼常數(shù)。隨此引出的是，在等溫時氙的重原子速度會比氦的較輕原子要低。圖二顯示的是四種惰性氣體原子速度的麥克斯韋-玻爾茲曼分布。

在這例子中，關(guān)鍵點是動能是速度的二次齊函數(shù)。均分定理顯示出于熱平衡時，任何在能量中只以二次出現(xiàn)的自由度（例如是一粒子的位置或速度的一個分量）有著等于?K_BT的平均能量，并因此向系統(tǒng)的熱容提供了?K_B。這個結(jié)果有著許多的應(yīng)用。

能量均分定理固體的比熱容

均分定理的一個重要應(yīng)用是在于晶狀固體的比熱容。如此固體的每一個原子都能夠在三個獨立的方向下振蕩，因此該固體可以被視為一個擁有各自獨立的3N個簡諧振子的系統(tǒng)，其中N為晶格中的原子數(shù)。由于每一個諧振子都有平均能量k_BT，所以固體的平均總能量為3Nk_BT，而比熱容則為3Nk_B。如取N為阿伏伽德羅常數(shù)N_A，并使用R = N_Ak_B這個聯(lián)系氣體常數(shù)R及玻爾茲曼常數(shù)k_B的關(guān)系式，可得固體摩爾比熱容的杜隆-珀蒂定律的一個解釋，定律指出晶格中每摩爾的原子熱容為3R≈ 6cal/(mol·K)。

然而，由于量子效應(yīng)的關(guān)系，這條定律在低溫時并不準確；這也不符合實驗導出的熱力學第三定律，第三定律指出摩爾比熱容于絕對零度時必為零。艾爾伯特·愛因斯坦（1907年）及彼得·德拜（1911年）在基礎(chǔ)上加入了量子效應(yīng)，發(fā)展出一套更準確的理論。

固體中每個原子的振動不是獨立的，可以用一組組的耦合振子作為模型。如此振蕩子的模型可以被分解成簡振模，這跟鋼琴弦的振動模態(tài)及管風琴的共振模態(tài)是相近的。另一方面，均分定理被應(yīng)用于這種系統(tǒng)時一般都會失敗，因為正常模態(tài)間是沒有能量交換的。在一個非常的情況下，模態(tài)獨立且它們的能量獨立地守恒。這個顯示出有某種的能量混合，正式叫做遍歷性，對于均分定理的成立是十分重要的。

在經(jīng)典統(tǒng)計力學中，能量均分定理（Equipartition Theorem）是一種聯(lián)系系統(tǒng)溫度及其平均能量的基本公式。能量均分定理又被稱作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或僅稱均分。能量均分的初始概念是熱平衡時能量被等量分到各種形式的運動中；例如，一個分子在平移運動時的平均動能應(yīng)等于其做旋轉(zhuǎn)運動時的平均動能。

能量均分定理能夠作出定量預(yù)測。類似于均功定理，對于一個給定溫度的系統(tǒng)，利用均分定理，可以計算出系統(tǒng)的總平均動能及勢能，從而得出系統(tǒng)的熱容。均分定理還能分別給出能量各個組分的平均值，如某特定粒子的動能又或是一個彈簧的勢能。例如，它預(yù)測出在熱平衡時理想氣體中的每個粒子平均動能皆為(3/2)k_BT，其中k_B為玻爾茲曼常數(shù)而T為溫度。更普遍地，無論多復(fù)雜也好，它都能被應(yīng)用于任何處于熱平衡的經(jīng)典系統(tǒng)中。能量均分定理可用于推導經(jīng)典理想氣體定律，以及固體比熱的杜隆-珀蒂定律。它亦能夠應(yīng)用于預(yù)測恒星的性質(zhì)，因為即使考慮相對論效應(yīng)的影響，該定理依然成立。

盡管均分定理在一定條件下能夠?qū)ξ锢憩F(xiàn)象提供非常準確的預(yù)測，但是當量子效應(yīng)變得顯著時（如在足夠低的溫度條件下），基于這一定理的預(yù)測就變得不準確。具體來說，當熱能k_BT比特定自由度下的量子能級間隔要小的時候，該自由度下的平均能量及熱容比均分定理預(yù)測的值要小。當熱能比能級間隔小得多時，這樣的一個自由度就說成是被“凍結(jié)”了。比方說，在低溫時很多種類的運動都被凍結(jié)，因此固體在低溫時的熱容會下降，而不像均分定理原測的一般保持恒定。對十九世紀的物理學家而言，這種熱容下降現(xiàn)象是表明經(jīng)典物理學不再正確，而需要新的物理學的第一個征兆。均分定理在預(yù)測電磁波的失?。ū环Q為“紫外災(zāi)變”）導致普朗克提出了光本身被量子化而成為光子，而這一革命性的理論對刺激量子力學及量子場論的發(fā)展起到了重要作用。

能量均分定理遍歷性需求

參見：遍歷性、混沌理論和柯爾莫哥洛夫 - 阿諾德 - 莫澤定理

均分定律只對處于熱平衡的遍歷系統(tǒng)有效，這意味著同一能量的態(tài)被遷移的可能性必然一樣。故此，系統(tǒng)一定要可以讓它所有各形態(tài)的能量能夠互相交換，或在正則系綜中跟一熱庫一起。已被證明為遍歷的系統(tǒng)數(shù)量不多；雅科夫·西奈的硬球系統(tǒng)是一個有名的例子。讓隔離系統(tǒng)保證其遍歷性——因而，均分定理——的需求已被研究過，同時研究還推動了動力系統(tǒng)混沌理論的發(fā)展。一混沌哈密頓系統(tǒng)不一定是遍歷系統(tǒng)，盡管假定它是通常也足夠準確。

有時候能量并不由它的各種形式所攤分，且此時均分定理在微正則系綜不成立，耦合諧波振蕩器系統(tǒng)就是在這狀況下常被引用的一個例子。如果系統(tǒng)跟外界隔絕，那每一個正常模態(tài)的能量是恒定的；能量并不由一個模態(tài)傳遞到另一模態(tài)的。因此在這樣一個系統(tǒng)中均分定理無效；每一個模態(tài)能量的量都被它的起始值所固定。如果能量函數(shù)中有著足夠強的非線性量的時候，能量可能可以在正常模態(tài)中傳遞，使系統(tǒng)走向遍歷并使均分定律有效。然而，柯爾莫哥洛夫 - 阿諾德 - 莫澤定理明確指出除非擾動夠強，否則能量不會交換；如擾動小的話，最低限度能量會繼續(xù)受困于一些模態(tài)中。

能量均分定理量子效應(yīng)引起的失敗

參見：紫外災(zāi)變、量子力學史和全同粒子

當熱能k_BT比能級間的差要小得多的時候，均分法則就會失效。均分此時不再成立，是因為能級組成平滑連續(xù)能譜的這個假設(shè)跟實際情況不近似，而這假設(shè)在上面均分定理推導中有用到。歷史上，經(jīng)典均分定理在解釋比熱及黑體輻射時的失敗，對表明需要一套物質(zhì)及輻射的新理論（即量子力學及量子場論）起了關(guān)鍵性的作用。

• 均功定理

• 分子運動論

• 統(tǒng)計力學

• 量子統(tǒng)計力學

不可分成本的平均分攤解是

Xi=SCi (1/n) NSC=(1/n)[c(N) Σ(j∈N) c(N \j )]- c(N \ i )

EANS的分攤方法非常直觀，就是每個參與人承擔各自的可分成本，然后把不可分成本在所有參與人之間平分。也就是說：

ci=SCi (1/n)NSC=(1/n) [ c(N) Σ(j∈N) c(N \j ) ] - c(N \ i ) (同上）2100433B

均分型干式蒸發(fā)器，它包括管板、換熱管、出水口、折流板、進水口和筒體，在換熱管的進液口連接有分液銅管，在分液銅管前設(shè)有制冷劑分配器、換熱管之間通過小彎頭連接。

在換熱管的出口處設(shè)有氣體管。本實用新型得到的均分型干式蒸發(fā)器，結(jié)構(gòu)簡單，十分便于生產(chǎn)制作。尤其在小型冷熱水機組中，制冷劑流量較小，所需的分配路數(shù)較少，因此所需的分液銅管和小彎頭較少，其所具有的優(yōu)勢更加明顯。也擴大了干式蒸發(fā)器的使用范圍。特別是它具有制冷劑分配均勻，流動阻力小等優(yōu)點，可應(yīng)用于多流程換熱器中，更適于小型冷熱水機組換熱器。2100433B