真正相似基本介紹

真正相似是一種特殊相似形，設(shè)圖形F與F′是相似形，在圖形F上任取不共線 三點(diǎn)A，B，C，它們?cè)趫D形F′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′，B′，C′(如圖1)，若△ABC和△A′B′C′的方向相同，即三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的排列(沿周界ABCA與A′B′C′A′的環(huán)繞方向)或同為順時(shí)針?lè)较蚧蛲瑸槟鏁r(shí)針?lè)较?，則稱圖形F與圖形F′真正相似。真正相似圖形的重要特例是真正相似三角形。當(dāng)△ABC與△A′B′C′相似，且沿周界ABCA與沿周界A′B′C′A′的環(huán)繞方向相同，即同為逆時(shí)針?lè)较蚧蛲瑸轫槙r(shí)針?lè)较颍瑒t這兩個(gè)三角形是真正相似三角形 。

定理1 位似圖形必彼此真正相似 。

定理2 若兩非合同的真正相似圖形有一雙對(duì)應(yīng)直線互相平行或重合，則它們必是位似圖形。

注 必須注意，即使兩真正相似圖形的每雙對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，但這兩圖形未必是位似的，例如在下圖中所繪的△ABC與△A'B'C'，它們不但真正相似，且有透視中心O，然而它們明明就不是位似圖形。

定理3 既不合同也不位似的兩個(gè)真正相似圖形，可以接連行一次位似變換和一次旋轉(zhuǎn)將其一形變?yōu)樗危?其中相似中心和旋轉(zhuǎn)中心是同一點(diǎn)。

定理4設(shè)圖形F與F'真正相似但不合同，A與A'是任一雙對(duì)應(yīng)點(diǎn)，k是相似比。若內(nèi)外分錢段AA'于M、N，使

定理5 非合同的兩個(gè)鏡象相似圖形，可以接連行一 次反射和一次位似變換將其一形變?yōu)榱硪恍?，其中反射軸通過(guò)相似中心。

定理6 非合同的兩個(gè)鏡象相似圖形的兩條二重線，內(nèi)外分每雙對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連接線所得的分比，都等于兩形的相似比 。

如果二圖形F和F'的點(diǎn)與點(diǎn)之間建立這樣的一一對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系，即圖形F'上任意二點(diǎn)連接而成的線段與圖形F上與前二點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二點(diǎn)連接而成的線段的比有同一數(shù)值，就說(shuō)圖形F'相似子圖形F，設(shè)A、B、C、D、…為圖形F上的點(diǎn)，圖形F'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'、B'、C'、D'、…，由定義，必有K=A'B'：AB=A'C'：AC=B'C'：BC=A'D'：AD…=常數(shù)，這個(gè)比例常數(shù)K稱為圖形F'對(duì)于圖形F的相似系數(shù)或稱相似比 。

特別地，如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角都相等，對(duì)應(yīng)邊都成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。對(duì)于兩個(gè)三角形，如果對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”。

有兩種相似圖形。如果給圖形以定向， 則有

(1)兩相似圖形上的每?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)三角形有同一的定向，每?jī)蓪?duì)應(yīng)角有同向，這兩個(gè)相似圖形稱為真正相似(圖3)。

(2)兩相似圖形上的每?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)三角形有相反的定向，每?jī)蓪?duì)應(yīng)角有相反方向，這兩個(gè)相似圖形稱為鏡象相似(圖4)。

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（1）幾何相似

幾何相似是指模型與其原型形狀相同，但尺寸可以不同，而一切對(duì)應(yīng)的線性尺寸成比例，這里的線性尺寸可以是直徑、長(zhǎng)度及粗糙度等。如用下標(biāo)p和m 分別代表原型和模型，則

線性比例常數(shù)可表示為 Cl=lp/lm

面積比例常數(shù)可表示為 Ca=Ap/Am=Cl^2

體積比例常數(shù)可表示為 Cv=Vp/Vm=Cl^3

（2）運(yùn)動(dòng)相似

運(yùn)動(dòng)相似是指對(duì)不同的流動(dòng)現(xiàn)象，在流場(chǎng)中的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的速度和加速度的方向一致，且比值相等，也就是說(shuō)，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流動(dòng)，其流線和流譜是幾何相似的。

速度比例常數(shù)可表示為 Cv=Vp/Vm；

由于時(shí)間的量綱是l/V，因此時(shí)間比例常數(shù)為 Ct=tp/tm=(lp/Vp)/ (lm/Vm)=Cl/Cv

由此加速度比例常數(shù)Ca=ap/am=Cv/Ct=CI/Ct^2

（3）動(dòng)力相似動(dòng)力相似即對(duì)不同的流動(dòng)現(xiàn)象，作用在流體上相應(yīng)位置處的各種力，如重力、壓力、粘性力和彈性力等，它們的方向?qū)?yīng)相同，且大小的比值相等，也就是說(shuō)，兩個(gè)動(dòng)力相似的流動(dòng)，作用在流體上相應(yīng)位置處各力組成的力多邊形是幾何相似的。

一般地說(shuō)，作用在流體微元上的力有重力Fg、壓力Pp、粘性力Fv、彈性力Fe和表面張力Ft。如果流體是作加（減）速運(yùn)動(dòng)，則加上慣性力Fi后，上述各力就會(huì)組成一個(gè)力多邊形，因此Fg Fp Fv Fe Ft Fi=0。

當(dāng)然，在許多實(shí)際問(wèn)題中，上述各力并非同等重要，有時(shí)有些力可能不存在或者小得可以忽略不計(jì)，例如Fe和Ft，見(jiàn)圖。如果在滿足幾何相似及運(yùn)動(dòng)相似的兩個(gè)流動(dòng)現(xiàn)象中，作用在任何流體微元上的力有Fg、Fp、Fv和Fi等，于是，如果這些力滿足以下條件，則說(shuō)兩個(gè)現(xiàn)象是動(dòng)力相似的。

動(dòng)力比例常數(shù)可表示為：Cf=Fgp/Fgm= Fpp/Fpm= Fvp/Fvm= Fip/Fim=…

滿足以上相似條件時(shí)，兩個(gè)流動(dòng)現(xiàn)象（或流場(chǎng)）在力學(xué)上就是相似的。這三種相似條件中，幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提和依據(jù)，動(dòng)力相似是則是流動(dòng)相似的主導(dǎo)因素，而運(yùn)動(dòng)相似只是幾何相似和動(dòng)力相似的表征；三者密切相關(guān)，缺一不可。

相似原理相似第一定理

兩個(gè)相似的流動(dòng)現(xiàn)象都屬于同一類物理現(xiàn)象，它們都應(yīng)為同一的數(shù)學(xué)物理方程所描述。流動(dòng)現(xiàn)象的幾何條件（流場(chǎng)的邊界形狀和尺寸）、物性條件（流體密度、粘性等）、邊界條件（流場(chǎng)邊界上物理量的分布，如速度分布、壓強(qiáng)分布等），對(duì)非定常流動(dòng)還有初始條件（選定研究的初始時(shí)刻流場(chǎng)中各點(diǎn)的物理量分布）都必定是相似的。這些條件又統(tǒng)稱為單值條件。如前所述，兩個(gè)流動(dòng)現(xiàn)象力學(xué)相似，則在空間對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)諸物理量各自互成一定的比例，而這些物理量又必須滿足同一的微分方程組，因此各量的比例系數(shù)，即相似倍數(shù)，不能是任意的，而是彼此制約的 。

綜上可得到結(jié)論：彼此相似的物理現(xiàn)象必須服從同樣的客觀規(guī)律，若該規(guī)律能用方程表示，則物理方程式必須完全相同，而且對(duì)應(yīng)的相似準(zhǔn)則必定數(shù)值相等。這就是相似第一定理。值得指出，一個(gè)物理現(xiàn)象中在不同的時(shí)刻和不同的空間位置相似準(zhǔn)則具有不同的數(shù)值，而彼此相似的物理現(xiàn)象在對(duì)應(yīng)時(shí)間和對(duì)應(yīng)點(diǎn)則有數(shù)值相等的相似準(zhǔn)則，因此，相似準(zhǔn)則不是常數(shù)。

相似原理相似第二定理

要使試驗(yàn)?zāi)Ｐ屯M的研究對(duì)象相似，試驗(yàn)的結(jié)果才能應(yīng)用到研究對(duì)象上去。判斷兩個(gè)現(xiàn)象是否相似，往往不能用物理量在對(duì)應(yīng)時(shí)間和空間的分布是否保持同一比值來(lái)判定。例如，風(fēng)洞中模型飛機(jī)流場(chǎng)與實(shí)際飛行著的飛機(jī)流場(chǎng)相似問(wèn)題，往往只知道飛機(jī)遠(yuǎn)前方的來(lái)流速度，飛機(jī)附近的流場(chǎng)分布卻不知道，因此不能根據(jù)相似定義來(lái)判斷二者是否相似。

兩個(gè)物理現(xiàn)象相似，必定是同一類物理現(xiàn)象。因此，描述物理現(xiàn)象的微分方程組必定相同，這是現(xiàn)象相似的第一個(gè)必要條件。

單值條件相似是物理現(xiàn)象相似的第二個(gè)必要條件。因?yàn)榉耐晃⒎址匠探M的同類現(xiàn)象有許多，單值條件可以將研究對(duì)象從無(wú)數(shù)多現(xiàn)象中單一地區(qū)分出來(lái)，數(shù)學(xué)上則是使微分方程組有唯一解的定解條件。

單值條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則相等是現(xiàn)象相似的第三個(gè)必要條件。

反過(guò)來(lái)說(shuō)，屬于同一類物理現(xiàn)象且單值條件相似時(shí)，兩個(gè)現(xiàn)象才有時(shí)間和空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及與時(shí)間和空間聯(lián)系的相同物理量，如果對(duì)應(yīng)的相似準(zhǔn)則相等，又保持了在對(duì)應(yīng)的時(shí)間和空間點(diǎn)上物理量保持相同的比值，也就保證了兩個(gè)物理現(xiàn)象的相似。

綜上所述，相似條件可表述為：凡同一類物理現(xiàn)象，當(dāng)單值條件相似且由單值條件中的物理量組成的相似準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)相等時(shí)，則這些現(xiàn)象必定相似。這就是相似第二定理，它是判斷兩個(gè)物理現(xiàn)象是否相似的充分必要條件。

相似三角形的相似條件

1、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

2、如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等, 那么這兩個(gè)三角形相似；

3、如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

4、如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

5、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。

離心泵葉輪的相似條件

1、流量相似關(guān)系

幾何相似的泵葉輪出口排擠系數(shù)相等

如果尺寸比值不是很大，滿足相似三條件的離心泵ηv = η’v

即可得：

2、揚(yáng)程相似關(guān)系

3、功率相似關(guān)系

上式表達(dá)了滿足相似三條件的離心泵各主要性能參數(shù)間的關(guān)系，稱為相似三定律。

相似理論

相似理論在泵的設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)中廣泛應(yīng)用。通常所說(shuō)的按模型換算進(jìn)行相似設(shè)計(jì)和進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)就是在相似理論指導(dǎo)下進(jìn)行的。按相似理論可以把模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果換算到實(shí)型泵上，也可以將實(shí)型泵的參數(shù)換算為模型的參數(shù)進(jìn)行模型設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)。

用小的模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)要比真機(jī)實(shí)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)得多，而且，因受到條件的限制，當(dāng)真機(jī)的尺寸過(guò)大，轉(zhuǎn)速過(guò)高或抽送諸如高溫等特殊液體時(shí)，往往難以進(jìn)行真機(jī)實(shí)驗(yàn)，只能用模型實(shí)驗(yàn)代之。

①幾何相似

兩臺(tái)泵在結(jié)構(gòu)上完全相仿，對(duì)應(yīng)尺寸的比值相同，葉片數(shù)、對(duì)應(yīng)角相等。

②運(yùn)動(dòng)相似

兩臺(tái)泵內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的液體流動(dòng)相仿，速度大小的比值相同、方向一致（即速度三角形相似）。

運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的必然結(jié)果。

③動(dòng)力相似

兩臺(tái)泵內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的液體慣性力、粘性力等的比值相同。

滿足以上3條，兩臺(tái)泵即為相似。通常兩臺(tái)泵只要滿足幾何相似和運(yùn)動(dòng)相似，就認(rèn)為滿足相似條件。

相似定律

符合相似條件的兩臺(tái)泵，可近似地認(rèn)為兩相似泵的容積效率、水力效率、機(jī)械效率相等，這時(shí)有以下各式成立，稱為相似定律。2100433B