對稱矩陣基本介紹

元素以對角線為對稱軸對應(yīng)相等的矩陣。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。

后來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。

1.對于任何方形矩陣X，X+XT是對稱矩陣。

2.A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。

3.對角矩陣都是對稱矩陣。

兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當(dāng)且僅當(dāng)兩者的特征空間相同。

用<,>表示Rn上的內(nèi)積。的實矩陣A是對稱的，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有，。

任何方形矩陣X，如果它的元素屬于一個特征值不為2的域（例如實數(shù)），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)

每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個復(fù)方形矩陣都可寫作兩個復(fù)對稱矩陣的積。

若對稱矩陣A的每個元素均為實數(shù)，A是Hermite矩陣。

一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)所有元素都是零。

如果X是對稱矩陣,那么AXAT也是對稱矩陣.

n階實對稱矩陣，是n維歐式空間V（R）的對稱變換在單位正交基下所對應(yīng)的矩陣。

所謂對稱變換，即對任意α、 β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影變換和鏡像變換都是對稱變換。

把一個m×n矩陣的行,列互換得到的n×m矩陣,稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為A'或AT。 (其中T為上標(biāo))

1.(A')'=A

2.(A+B)'=A'+B'

3.(kA)'=kA'(k為實數(shù))

4.(AB)'=B'A'

若矩陣A滿足條件A=A',則稱A為對稱矩陣，由定義知對稱矩陣一定是方陣,而且位于主對角線對稱位置上的元素必對應(yīng)相等.即aij=aji,對任意i,j都成立。

1．對稱矩陣

（1）對稱矩陣

在一個n階方陣A中，若元素滿足下述性質(zhì)：

aij=aji0≤i，j≤n-1

則稱A為對稱矩陣。

（2）對稱矩陣的壓縮存

對稱矩陣中的元素關(guān)于主對角線對稱，故只要存儲矩陣中上三角或下三角中的元素，讓每兩個對稱的元素共享一個存儲空間。這樣，能節(jié)約近一半的存儲空間。

①按"行優(yōu)先順序"存儲主對角線(包括對角線)以下的元素

即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一個向量sa[0．．n(n+1)／2-1]中（下三角矩陣中，元素總數(shù)為n(n+1)／2）。

其中：

sa[0]=a00,

sa[1]=a10,

……，

sa[n(n+1)／2-1]=an-1,n-1

②元素aij的存放位置

aij元素前有i行(從第0行到第i-1行)，一共有：

1+2+…+i=i×(i+1)／2個元素；

在第i行上，aij之前恰有j個元素(即ai0，ail，…，ai,j-1)，因此有：

sa[i×(i+1)／2+j]=aij

③aij和sa[k]之間的對應(yīng)關(guān)系：

若i≥j，k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2

若i＜j，k=j×(j+1)／2+i0≤k<n(n+1)／2

令I(lǐng)=max(i，j)，J=min(i，j)，則k和i，j的對應(yīng)關(guān)系可統(tǒng)一為：

k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2

（3）對稱矩陣的地址計算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)／2+J]×d

通過下標(biāo)變換公式，能立即找到矩陣元素aij在其壓縮存儲表示sa中的對應(yīng)位置k。因此是隨機存取結(jié)構(gòu)。

【例】a21和a12均存儲在sa[4]中，這是因為

k=I×(I+1)／2+J=2×(2+1)／2+1=4

對稱矩陣定義是:A=A(A的轉(zhuǎn)置) ，對稱矩陣的元素A(i,j)=A(j,i).

反對稱矩陣定義是:A= - A(A的轉(zhuǎn)置前加負(fù)號) 它的第Ⅰ行和第Ⅰ列各數(shù)絕對值相等，符號相反。 于是，對于對角線元素，A(i,i)=-A(i,i),有2A(i,i)=0， 在非偶數(shù)域中，有A(i,i)=0，

即反對稱矩陣對角線元素為零( 此性質(zhì)只在非偶數(shù)域中成立。在偶數(shù)域中，由于1+1=0，反對稱矩陣的對角線元素不一定為0)。