Ornstein-Uhlenbeck過程動態(tài)指標的計算分析及其在金融工程中的運用

一般來件，ABAQUS中計算流變（此處以蠕變?yōu)槔M行介紹），工程應(yīng)用中，從分析流程上來講，有兩種常用思路：

1）利用結(jié)構(gòu)靜力分析步先算出預(yù)應(yīng)力（如果有，設(shè)置分析時間很短）然后利用軟件自帶的visco分析步（ABAQUS中的一種分析類型）直接進行蠕變分析；2）先用結(jié)構(gòu)靜力分析步算預(yù)應(yīng)力，然后建立準靜態(tài)分析步，計算蠕變。介紹了流程之后，自然要介紹一下本構(gòu)模型，ABAQUS等通用有限元軟件基本都包括與時間有關(guān)的率相關(guān)材料模型，比如：prony技術(shù)積分型的粘彈性模型，以及power-law時間強化和應(yīng)變強化的粘塑性模型等。這些模型基本可以滿足常規(guī)的工程需求，當然，對于部分領(lǐng)域，有部分本構(gòu)模型并未直接包含在軟件中，比如，巖土工程中的廣義西原粘彈塑性本構(gòu)模型。所幸，ABAQUS軟件提供了用戶材料子程序接口，通過編寫fortran代碼，可以實現(xiàn)軟件非自帶本構(gòu)的應(yīng)用，極大的方便了用戶，并拓展了軟件的應(yīng)用范圍。

最后，介紹一下ABAQUS中的蠕變計算流程。

按照工程中常見的問題，為降低蠕變應(yīng)變與其他非彈性應(yīng)變的耦合程度，一般會在一開始會利用靜態(tài)分析計算一下模型的預(yù)應(yīng)力，比如地應(yīng)力，然后再進行后續(xù)的蠕變分析。

Step1：ABAQUS中的static general類的分析步，計算與時間無關(guān)的加載過程；

Step2：完成蠕變過程計算，這個過程涉及主要涉及兩個因素與常規(guī)結(jié)構(gòu)靜力學(xué)求解不同，一是蠕變材料模型，另一個是蠕變分析步的設(shè)置。

1）蠕變材料模型及參數(shù)

目前ABAQUS蠕變模型有三種，分別是Power-law model和Hyperbolic-sine law model。其中Power-law model有兩種形式為Timehardening form和Strain hardening form。其中Time hardening form形式最為簡單，對于簡單的蠕變過程（如蠕變過程應(yīng)力變化范圍不太大）是比較適用的，式(1)為其微分形式：

(1)

t為時間。

分別為常數(shù)項，用于表征該材料的蠕變特性。

對公式(1)積分，積分結(jié)果見公式(2)：

(2)

其中

然后利用公式2）擬合試驗得到的曲線族，即可得到合適的三個參數(shù)。

ABAQUS中定義蠕變材料及參數(shù)的方法：

Property模塊—creatematerial—mechanical—plasticity—creep,然后輸入A,n,m的值，如下圖

2）蠕變分析步設(shè)置

蠕變計算過程必須考慮時間的影響，最常用的是直接利用ABAQUS中的VISCO分析步完成蠕變計算。

其中：Time Period為蠕變的總時間，incrementation中的增量步大小設(shè)置與其他分析類型類似，需要說明的是蠕變應(yīng)變?nèi)莶?，通常蠕變?yīng)變的容差設(shè)置將影響增量步的大小，容差設(shè)的很小，增量步也將降低。因此需要一個合適的蠕變應(yīng)變的容差，一般為了保證精度和增量步大小合理，可以設(shè)為1E-5左右，可以根據(jù)具體計算調(diào)整該值。

以典型沖壓成型分析為例，node to surface以及surface to surface下，其非彈性應(yīng)變云圖如下所示：

兩種接觸模式下，最大蠕變應(yīng)變率與目標蠕變應(yīng)變率的比例歷程曲線如下所示，一開始蠕變應(yīng)變率較低，最后階段下降快，是由于沖模已充滿模腔，整個曲線盡管看起來呈現(xiàn)鋸齒狀，但其峰值應(yīng)變率始終與目標應(yīng)變率接近，這與實際的情況是一致的。