測地線簡介

類似地球這樣的物體并非由于稱為引力的力使之沿著彎曲軌道運(yùn)動(dòng)，而是它沿著彎曲空間中最接近于直線的稱之為測地線的軌跡運(yùn)動(dòng)。例如，地球的表面是一彎曲的二維空間。地球上的測地線稱為大圓，是兩點(diǎn)之間最近的路徑。由于測地線是兩個(gè)機(jī)場之間的最短程，這正是領(lǐng)航員叫飛行員飛行的航線。在廣義相對論中，物體總是沿著四維時(shí)空的測地線走。盡管如此，在我們的三維空間看起來它是沿著彎曲的途徑（這正如同看一架在非常多山的地面上空飛行的飛機(jī)。雖然它沿著三維空間的直線飛，在二維的地面上它的影子卻是沿著一條彎曲的路徑）。

測地線短程線

如果兩曲面沿一曲線相切，并且此曲線是其中一個(gè)曲面的測地線，那么它也是另一個(gè)曲面 的測地線。 過曲面上任一點(diǎn)，給定一個(gè)曲面的切方向，則存在唯一一條測地線切于此方向。 在適當(dāng)?shù)男》秶鷥?nèi)聯(lián)結(jié)任意兩點(diǎn)的測地線是最短線，所以測地線又稱為短程線。

測地線測地線效應(yīng)

光線經(jīng)過一個(gè)大質(zhì)量天體附近時(shí)，受其引力作用（或者說進(jìn)入了該天體附近的彎曲空間）， 路線會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，稱為“測地線效應(yīng)”。

距離最短的曲線在相對論中的專業(yè)術(shù)語是測地線，事實(shí)上，相應(yīng)于速度小于C，等于C，大于C的三種測地線分別稱為類時(shí)測地線，類光測地線和類空測地線。所以，如果不受到引力以外其他力的作用，物體將在類時(shí)或類光測地線上運(yùn)動(dòng)（因?yàn)闆]有物體的速度能超過光速）

例如，地球這樣的物體并非收到稱作引力的力的作用而沿著彎曲軌道運(yùn)動(dòng)；相反，他們之所以沿著彎曲軌道運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)樵趶澢臻g中，他們遵循著一條最接近直線的路徑運(yùn)動(dòng)，這個(gè)路徑稱作測地線。用專業(yè)術(shù)語來說，測地線的定義就是相鄰兩點(diǎn)之間最短（或最長） 的路徑。

測地線定義1

設(shè)M為光滑流形，γ:[a,b]→M為光滑曲線，γ稱為測地線，若滿足

測地線定義2

設(shè)

測地線概述

也稱作測地線進(jìn)動(dòng)（Geodetic Effect或Geodetic Precession）是指在廣義相對論預(yù)言下引力場的時(shí)空曲率對處于其中的具有自旋角動(dòng)量的測試質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所產(chǎn)生的影響，這種影響造成了測試質(zhì)量的自旋角動(dòng)量在引力場內(nèi)沿測地線的進(jìn)動(dòng)。這種效應(yīng)在今天成為了廣義相對論的一種實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法，并且已經(jīng)由美國國家航空航天局于2004年發(fā)射的科學(xué)探測衛(wèi)星“引力探測器B”在觀測中證實(shí)。

測地線解釋

由于廣義相對論本身是一種幾何理論，所有的引力效應(yīng)都可以用時(shí)空曲率來解釋，測地線效應(yīng)也不例外。不過，這里自旋角動(dòng)量的進(jìn)動(dòng)也可以部分地從廣義相對論的替代理論之一——引力磁性來理解。

從引力磁性的觀點(diǎn)來看，測地線效應(yīng)首先來源于軌道-自旋耦合作用。在引力探測器B的觀測中，這是引力探測器B中的陀螺儀的自旋和位于軌道中心的地球的質(zhì)量流的相互作用。本質(zhì)上這完全可以和電磁理論中的托馬斯進(jìn)動(dòng)做類比。這種相互作用所導(dǎo)致的進(jìn)動(dòng)在全部的測地線進(jìn)動(dòng)中起到三分之一的貢獻(xiàn)。

另外的三分之二貢獻(xiàn)不能用引力磁性來解釋，只能認(rèn)為來自于時(shí)空曲率。簡單來說，平直時(shí)空中沿軌道運(yùn)動(dòng)的自旋角動(dòng)量方向會隨著引力場造成的時(shí)空彎曲而傾斜。這一點(diǎn)其實(shí)并不難于理解：垂直于一個(gè)平面的矢量在平面發(fā)生彎曲后定然會改變方向。根據(jù)推算，引力探測器B的繞地軌道周長由于地球引力場的影響會比不考慮引力場時(shí)的周長縮短1.1英寸（約合2.8厘米），這個(gè)例子在引力探測器B的研究中經(jīng)常被稱作“丟失的一英寸”。在引力探測器B的位于642千米高空的極軌道上，廣義相對論的理論預(yù)言由于自旋-軌道耦合和時(shí)空曲率而產(chǎn)生的軌道平面上的測地線效應(yīng)總和為每年進(jìn)動(dòng)6.606角秒（約合0.0018度）。這對于弱引力場中相對論效應(yīng)來說已經(jīng)是一個(gè)相當(dāng)顯著的影響了（作為同為引力探測器B的觀測任務(wù)之一的地球引力場的參考系拖拽要比測地線效應(yīng)弱170倍）。引力探測器B的觀測結(jié)果首先在2007年4月舉行的美國物理學(xué)會四月年會上進(jìn)行了快報(bào)，其觀測結(jié)果與理論誤差小于1%。

測地線束與共軛點(diǎn)理論的假設(shè)與推導(dǎo)

在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考慮的測地線束局部正比于某個(gè)梯度場， 或者說垂直于某個(gè)超曲面， 則稱該線束是超曲面垂直(hypersurface orthogonal) 的。 可以證明， 對于這樣的測地線束來說， 渦旋張量 ωab 為零， 從而 Raychaudhuri 方程可以簡化為：

dθ/dτ = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab

由于 σabσab 總是非負(fù)的， 因此從這個(gè)方程中我們可以得到：

dθ/dτ ≤ -RabVaVb - (1/3)θ2

如果進(jìn)一步假定強(qiáng)能量條件成立， 即 RabVaVb 處處非負(fù)， 則上述不等式可以進(jìn)一步簡化為：

dθ/dτ ≤ - (1/3)θ2

對這個(gè)不等式進(jìn)行積分可得：

θ-1 ≥ θ0-1 (1/3)(τ-τ0)

其中 θ0=θ(τ0)。

測地線束與共軛點(diǎn)推論

從這個(gè)不等式我們可以得到一個(gè)重要的推論， 那就是倘若 θ0<0， 即線束在 τ=τ0 時(shí)出現(xiàn)匯聚效應(yīng)， 則 θ 會在有限固有時(shí)間 τ-τ0≤3/|θ0| 內(nèi)趨于負(fù)無窮。 可以證明， 這意味著測地線束在該處匯聚為一點(diǎn)， 或者說測地偏離矢量場 - 也稱為 Jacobi 場 - 在該處為零。

上面這些結(jié)果都是針對類時(shí)測地線的。 不過可以證明， 除了一些不影響定性結(jié)果的差異 (比如 Raychaudhuri 方程中的數(shù)值因子 1/3 因垂直子空間維數(shù)的改變而變成 1/2， 固有時(shí)間 τ 變成仿射參數(shù) λ， 等) 外， 類光測地線也具有類似的性質(zhì)。 類光測地線所滿足的一般性條件為： 每條類光測地線上至少有一個(gè)點(diǎn)使得 k[eRa]bc[dkf]kbkc ≠ 0。 這個(gè)條件被稱為類光一般性條件 (null generic condition)。

從物理意義上講， 每條類時(shí)測地線上至少有一個(gè)點(diǎn)使得 RabcdVbVd≠0， 意味著每條類時(shí)測地線都至少會在一個(gè)時(shí)空點(diǎn)上遇到由物質(zhì)分布或引力波所造成的某種測地偏離效應(yīng)。 這一條件 - 稱為類時(shí)一般性條件(timelike generic condition) - 在理論上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率張量與測地線切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所違反。 但對于具有現(xiàn)實(shí)物理意義的情形來說， 由于物質(zhì)及引力波的分布往往足夠彌散及隨機(jī)， 類時(shí)一般性條件被認(rèn)為是得到滿足的。