級(jí)數(shù)

一類重要的函數(shù)級(jí)數(shù)是形如

級(jí)數(shù)是指將數(shù)列

級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位，這是因?yàn)椋阂环矫婺芙柚?jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常用級(jí)數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。

正項(xiàng)級(jí)數(shù)之外，如果一個(gè)級(jí)數(shù)沒(méi)有正項(xiàng)，或者只有有限個(gè)正項(xiàng)，或者只有有限個(gè)負(fù)項(xiàng)，則其收斂問(wèn)題都可以歸結(jié)到一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，所以只需考慮一個(gè)級(jí)數(shù)既有無(wú)限個(gè)正項(xiàng)又有無(wú)限個(gè)負(fù)項(xiàng)的情形。在這種級(jí)數(shù)中，結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的是正負(fù)號(hào)逐項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)，叫做交錯(cuò)級(jí)數(shù)：

顯然，一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)在形式上可以看成兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)之差。

同樣，每一個(gè)級(jí)數(shù)在形式上都可以看成兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(即這級(jí)數(shù)的“正部分”與“負(fù)部分”）之差：

級(jí)數(shù)簡(jiǎn)介

一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)，如果在逐項(xiàng)取絕對(duì)值之后仍然收斂，就說(shuō)它是絕對(duì)收斂的；否則就說(shuō)它是條件收斂的。

簡(jiǎn)單的比較級(jí)數(shù)就表明，只要∑|un|收斂就足以保證級(jí)數(shù)收斂;因而分解式(不僅表明∑|un|的收斂隱含著原級(jí)數(shù)∑un的收斂，而且把原級(jí)數(shù)表成了兩個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)之差。由此易見(jiàn)，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)同正項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，很像有限和，可以任意改變項(xiàng)的順序以求和，可以無(wú)限分配地相乘。

但是條件收斂的級(jí)數(shù)，即收斂而不絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，決不可以這樣。這時(shí)式右邊成為兩個(gè)發(fā)散(到 ∞)的、其項(xiàng)趨于零的、正項(xiàng)級(jí)數(shù)之差，對(duì)此有黎曼定理。

級(jí)數(shù)黎曼定理

一個(gè)條件收斂的級(jí)數(shù)，在其項(xiàng)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)呐帕兄螅梢允諗康揭粋€(gè)事先任意指定的數(shù)；也可以發(fā)散到 ∞或－∞；也可以沒(méi)有任何的和。

一致收斂是收斂性與函數(shù)連續(xù)性結(jié)合的最重要的形式。2100433B

如果每一un≥0（或un≤0），則稱∑un為正（或負(fù)）項(xiàng)級(jí)數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)與負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)統(tǒng)稱為同號(hào)級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收斂，因?yàn)椋篠m=1 1/2! 1/3! ··· 1/m!<1 1 1/2 1/22 ··· 1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

有無(wú)窮多項(xiàng)為正，無(wú)窮多項(xiàng)為負(fù)的級(jí)數(shù)稱為變號(hào)級(jí)數(shù)，其中最簡(jiǎn)單的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的級(jí)數(shù)，稱之為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。判別這類級(jí)數(shù)收斂的基本方法是萊布尼茲判別法 ：若un ≥un 1 ，對(duì)每一n∈N成立，并且當(dāng)n→∞時(shí)lim un=0，則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收斂。對(duì)于一般的變號(hào)級(jí)數(shù)如果有∑|un|收斂，則稱變號(hào)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。如果只有 ∑un收斂，但是∑|un|發(fā)散，則稱變號(hào)級(jí)數(shù)條件收斂。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)絕對(duì)收斂，而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是條件收斂。

如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)依賴于變量x,x 在某區(qū)間I內(nèi)變化,即un=un(x),x∈I，則∑un(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱函數(shù)級(jí)數(shù)。若x=x0使數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x0)收斂，就稱x0為收斂點(diǎn)，由收斂點(diǎn)組成的集合稱為收斂域，若對(duì)每一x∈I，級(jí)數(shù)∑un(x)都收斂，就稱I為收斂區(qū)間。顯然，函數(shù)級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)定義了一個(gè)函數(shù)，稱之為和函數(shù)S(x)，即S(x)=∑un(x)如果滿足更強(qiáng)的條件，Sm(x)在收斂域內(nèi)一致收斂于S(x) 。

正項(xiàng)級(jí)數(shù)代表著收斂性最簡(jiǎn)單的情形。在這種情形，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和 sm=u1 u2 … um隨著m單調(diào)增長(zhǎng)，等價(jià)于級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)un≥0(因此，有時(shí)也稱為非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù))。于是級(jí)數(shù)(∑un)收斂等價(jià)于部分和(sm)有界。項(xiàng)越小，部分和就越傾向于有界，因而正項(xiàng)級(jí)數(shù)有比較判別法：

同樣，每項(xiàng)比前項(xiàng)的比值較小，部分和也就增加較少而較傾向于有界，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)又有比值判別法。事實(shí)上，這都在于斷定un的大小數(shù)量級(jí)。

級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題是級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題。從級(jí)數(shù)的收斂概念可知，級(jí)數(shù)的斂散性是借助于其部分和數(shù)列Sm的斂散性來(lái)定義的。因此可從數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則得出級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則 ：∑un收斂<=>任意給定正數(shù)ε，必有自然數(shù)N，當(dāng)n>N，對(duì)一切自然數(shù) p，有|u[n 1] u[n 2] … u[n p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的絕對(duì)值可任意小。

筒單級(jí)數(shù)反應(yīng)reaction with simple order速平萬(wàn)程具有:二kc-A}cf},..形式，且式‘護(hù)濃度。的指數(shù)h,}.二為正、負(fù)整數(shù)或零的化學(xué)反應(yīng)。例如其(p q十一)為。,1,2,3的化學(xué)反應(yīng)分別稱為零級(jí)反應(yīng)、一級(jí)反應(yīng)、二級(jí)反應(yīng)和三級(jí)反應(yīng)，均是簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)反應(yīng)的典型例子。有的學(xué)者認(rèn)為。(p一‘、 .二)為贅數(shù)或半整數(shù)的反應(yīng)均屬簡(jiǎn)單級(jí)數(shù)反應(yīng)，例如(p十q ...)一2.5的反應(yīng)是其一例。 2100433B

法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉在1807年就寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文《熱的傳播》，向巴黎科學(xué)院呈交，但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學(xué)院拒絕，1811年又提交了經(jīng)修改的論文，該文獲科學(xué)院大獎(jiǎng)，卻未正式發(fā)表。傅里葉在論文中推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。

1822年，傅里葉出版了專著《熱的解析理論》（Theorieanalytique de la Chaleur,Didot,Paris,1822）。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級(jí)數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論，三角級(jí)數(shù)后來(lái)就以傅里葉的名字命名。傅里葉應(yīng)用三角級(jí)數(shù)求解熱傳導(dǎo)方程，為了處理無(wú)窮區(qū)域的熱傳導(dǎo)問(wèn)題又導(dǎo)出了當(dāng)前所稱的“傅里葉積分”，這一切都極大地推動(dòng)了偏微分方程邊值問(wèn)題的研究。然而傅里葉的工作意義遠(yuǎn)不止此，它迫使人們對(duì)函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對(duì)不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級(jí)數(shù)收斂性問(wèn)題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個(gè)19世紀(jì)分析嚴(yán)格化的進(jìn)程。傅立葉1822年成為科學(xué)院終身秘書。

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的原理，周期函數(shù)都可以展開(kāi)為常數(shù)與一組具有共同周期的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和。

上式稱為f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)，其中，ω=2π/T。

n=0，1，2，3，…。

n=1，2，3，4，…。

在間斷點(diǎn)處，下式成立：

a₀/2為信號(hào)f(t)的直流分量。

令

c₁為基波幅值，c_n為n次諧波的幅值。c₁有時(shí)也稱一次諧波的幅值。a₀/2有時(shí)也稱0次諧波的幅值。

諧波的頻率必然也等于基波的頻率的整數(shù)倍，基波頻率3倍的波稱之為三次諧波，基波頻率5倍的波稱之為五次諧波，以此類推。不管幾次諧波，他們都是正弦波。

高于基波頻率的諧波，稱為高次諧波，高次諧波的頻率是基波頻率的整數(shù)倍?；蛘哒f(shuō)頻率為基波頻率2倍以上的正弦波均為高次諧波。