朗肯狀態(tài)被動土壓力強度與土的應力狀態(tài)之間的關系

如前所述，當擋土墻不發(fā)生位移時，整個土體處于彈性平衡狀態(tài)，在墻高范圍內任一深度Z 處的應力為σz=σ1 =RZ, σx =σ3 = K0RZ。當擋土墻向填土方向移動，土體在水平方向上被壓縮，則σ3不斷增大，而σ1保持不變。當σ3<σ1 時，由于σx =σ3,莫爾圓半徑逐漸減小，在該過程中的某一時刻單元體A 的應力狀態(tài)可用莫爾圓Ⅳ表示；當σ3 =σ1時,莫爾圓縮成一個點，即圖2 中的A 點，這時單元體在所有的方向上只作用相等的正應力σz，而剪應力Τ為零，所以在這種應力狀態(tài)下，單元體不會發(fā)生剪切破壞。當σ3隨著擋土墻的位移逐漸增大且大于σ1時，大小主應力的方向發(fā)生了變化，這時:σ1是土中的大主應力，而σ3 =σz = RZ 保持不變。這樣就可根據極限平衡條件求出σ1（max）即被動土壓力強度。其莫爾圓可用圓Ⅵ來表示，與抗剪包線相切。相應的填土體中形成一系列的滑裂面，滑裂面與水平面的夾角是θi=45°-φ/2，莫爾圓上切點與大主應力σ1的連線與σ軸的夾角，即是θi 。

當擋土墻沒有任何位移時，整個填土體在各點處的應力狀態(tài)和沒有建造擋土墻時與填土性質完全相同的天然土體中相應各點處的應力狀態(tài)是完全一致的，即處于初始的彈性平衡狀態(tài)。在填土表面下深度Z 處取一單元體A,那么作用在該單元體的水平面和垂直面上的應力為：

σz =σ1 =RZ σx =σ3 = K0RZ

式中：σz——地表下Z 深度處的自重應力；

σ1——作用于單元體A 的大主應力；

σx——作用于單元體A 的側壓力；

σ3——作用于單元體A 的小主應力；

K0 ——靜止土壓力系數(shù)；

R ——墻后填土重度；

Z ——計算點在填土下的深度。

根據上面的分析可知，在正常固結土中，σz=σ1=RZ, σ3 =σx= K0RZ，該單元體的應力狀態(tài)可用莫爾圓Ⅰ表示。由于該點處于彈性平衡狀態(tài)，故莫爾圓Ⅰ沒有與抗剪強度包線相切。當擋土墻在土壓力作用下向前移動或繞墻趾轉動，墻后土體在水平方向上有拉伸趨勢，在擋土墻的位移由零發(fā)展到墻后填土達到主動極限平衡狀態(tài)時對應的位移量Δa 的過程中，σz=σ1 =RZ,保持不變；σx =σ3逐漸減小，且無法用解析法計算σ3的確定值。

擋土墻在位移過程中某一時刻單元體A 的應力狀態(tài)可用莫爾圓來表示。當擋土墻位移增大到某一極限值時，即Δ－Δa 時，墻后土體在某一范圍內達到主動極限平衡狀態(tài)。由于墻底以下的土有摩擦作用，不可能在整個土體中都達到極限平衡狀態(tài)，這時，σ3達到最小值，即σx =σ（3 min），而土的自重應力σz是大主應力卻是不變的，即：

σz=σ1 =RZ σx =σ（3 min）

式中：σz——地表下Z 深度處的自重應力；

σ1——作用于單元體A 的大主應力；

R ——墻后填土重度；

Z ——計算點在填土下的深度；

σx——作用于單元體A 的側壓力；

σ（3 min）——主動土壓力狀態(tài)下土體剪切破壞時的最小主應力。

根據極限平衡條件可求出σ3 , 就是主動土壓力強度。這時對應的極限應力圓可用圓Ⅲ來表示，圓Ⅲ與抗剪強度包線相切。這時填土中會形成一系列的滑裂面，面上各點都處于極限平衡狀態(tài)，滑裂面與大主應力面的夾角是θ=45° φ/2，莫爾圓上切點與小主應力σ3的連線與σ軸的夾角即是θ 。

朗肯理論的基本假設：

(1)墻為鋼體；

(2)墻背垂直光滑；

(3)填土表面水平。

那么假設(1)保證擋土墻本身不會發(fā)生任何形式的變形；假設(2)能夠保證填土的任一垂直面上不存在摩擦力；假設(3)保證整個填土體與半空間彈性體在空間形狀上的一致性。假設(1)、(3)容易理解，下面對假設(2)與應力狀態(tài)之間的關系進行分析。在擋土墻高度范圍內，填土表面下任一深度Z 處，有一與墻背接觸的單元體A。

由于墻背垂直光滑，那么單元體Ⅰ與墻背接觸的那個面上就不存在摩擦力；由于填土處于彈性平衡狀態(tài)，那么單元體Ⅰ、Ⅱ都處于靜止平衡狀態(tài)，則單元體A 與單元體Ⅱ接觸的另一個垂直面上也不存在摩擦力。這樣，假設(2)就可以保證填土的任一垂直面上不存在摩擦力，從而在任一垂直面上也不存在剪應力。根據剪應力互等定理，擋土墻高度范圍內，任一水平面的剪應力亦為零。這樣，表面水平的填土體中的應力狀態(tài)就與半空間彈性體中的應力狀態(tài)一致，即任一單元體的水平面和垂直面上的正應力分別是大小主應力 。

朗肯土壓力理論主要是基于彈性半空間體在極限平衡狀態(tài)下應滿足的極限平衡條件而提出的土壓力計算方法，是土力學中一個重要內容。但在許多文獻中，普遍存在兩個問題，一是對朗肯理論的基本假設和應力狀態(tài)之間的關系闡述過少；二是僅對墻后填土處于兩種極限平衡狀態(tài)時，提出了填土壓力的計算方法，卻極少對土的應力狀態(tài)的變化過程進行分析。只有從土應力狀態(tài)的動態(tài)變化的觀點出發(fā)，才能真正理解朗肯土壓力理論。針對這兩個問題加以分析和研究 。

針對現(xiàn)有文獻中關于朗肯土壓力理論存在的兩個問題，提出了土應力狀態(tài)動態(tài)分析的觀點，通過對朗肯理論基本假設、主動土壓力強度、被動土壓力強度和土的應力狀態(tài)之間的關系的分析，得出如下結論：在擋土墻的位移過程中，土中任一點的主應力也隨之發(fā)生變化 。

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土壓力依據

朗肯土壓力理論是根據半空間體的應力狀態(tài)和土的極限平衡理論得出的土壓力計算理論之一。

基本假設：墻背直立、光滑，墻后填土面水平。 這時，墻背與填土界面上的剪應力為零。不改變右邊土體中的應力狀態(tài)。當擋土墻的變位符合上述主動或被動極限平衡條件時，作用在擋土墻墻背上的土壓力即為朗肯主動土壓力或朗肯被動土壓力。

土壓力計算

（1）主動土壓力計算

土的極限平衡條件：土體處于極限平衡狀態(tài)時土的應力狀態(tài)和土的抗剪強度指標之間的關系式。

大主應力σ₁ = σ_v=γz

小主應力σ₃ = σ_h

主動土壓力強度σ_a = σ_h

粘性土

無粘性土

主動土壓力系數(shù)

粘性土的主動土壓力強度包括兩部分：

1.由土自重引起的土壓力γzKa；

2.由粘聚力c引起的負側壓力2cKa1/2。

其中負側壓力對增背是拉應力，實際上墻與土在很小的拉力作用下就會分離（一般情況下認為土不能承受拉應力），故在計算土壓力時，這部分應忽去不計。

臨界深度z₀

粘性土主動土壓力_Ea作用點位于墻底以上（H - z₀)/3處

無粘性土主動土壓力，E_a— 合力（集中力），作用點位于墻底以上H /3處

（2）被動土壓力計算

土的極限平衡條件

大主應力σ₁ = σ_h

小主應力σ₃ = σ_v=γz

被動土壓力強度σ_p = σ_h

粘性土

無粘性土

被動土壓力系數(shù)

粘性土被動土壓力

E_p方向垂直墻背，作用點位于梯形面積的重心上

非粘性土被動土壓力

E_p方向垂直墻背，作用點位于作用點位于墻底以上H /3處

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