朗肯狀態(tài)總結(jié)

針對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于朗肯土壓力理論存在的兩個(gè)問(wèn)題，提出了土應(yīng)力狀態(tài)動(dòng)態(tài)分析的觀點(diǎn)，通過(guò)對(duì)朗肯理論基本假設(shè)、主動(dòng)土壓力強(qiáng)度、被動(dòng)土壓力強(qiáng)度和土的應(yīng)力狀態(tài)之間的關(guān)系的分析，得出如下結(jié)論：在擋土墻的位移過(guò)程中，土中任一點(diǎn)的主應(yīng)力也隨之發(fā)生變化 。

如前所述，當(dāng)擋土墻不發(fā)生位移時(shí)，整個(gè)土體處于彈性平衡狀態(tài)，在墻高范圍內(nèi)任一深度Z 處的應(yīng)力為σz=σ1 =RZ, σx =σ3 = K0RZ。當(dāng)擋土墻向填土方向移動(dòng)，土體在水平方向上被壓縮，則σ3不斷增大，而σ1保持不變。當(dāng)σ3<σ1 時(shí)，由于σx =σ3,莫爾圓半徑逐漸減小，在該過(guò)程中的某一時(shí)刻單元體A 的應(yīng)力狀態(tài)可用莫爾圓Ⅳ表示；當(dāng)σ3 =σ1時(shí),莫爾圓縮成一個(gè)點(diǎn)，即圖2 中的A 點(diǎn)，這時(shí)單元體在所有的方向上只作用相等的正應(yīng)力σz，而剪應(yīng)力Τ為零，所以在這種應(yīng)力狀態(tài)下，單元體不會(huì)發(fā)生剪切破壞。當(dāng)σ3隨著擋土墻的位移逐漸增大且大于σ1時(shí)，大小主應(yīng)力的方向發(fā)生了變化，這時(shí):σ1是土中的大主應(yīng)力，而σ3 =σz = RZ 保持不變。這樣就可根據(jù)極限平衡條件求出σ1（max）即被動(dòng)土壓力強(qiáng)度。其莫爾圓可用圓Ⅵ來(lái)表示，與抗剪包線相切。相應(yīng)的填土體中形成一系列的滑裂面，滑裂面與水平面的夾角是θi=45°-φ/2，莫爾圓上切點(diǎn)與大主應(yīng)力σ1的連線與σ軸的夾角，即是θi 。

當(dāng)擋土墻沒(méi)有任何位移時(shí)，整個(gè)填土體在各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)和沒(méi)有建造擋土墻時(shí)與填土性質(zhì)完全相同的天然土體中相應(yīng)各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)是完全一致的，即處于初始的彈性平衡狀態(tài)。在填土表面下深度Z 處取一單元體A,那么作用在該單元體的水平面和垂直面上的應(yīng)力為：

σz =σ1 =RZ σx =σ3 = K0RZ

式中：σz——地表下Z 深度處的自重應(yīng)力；

σ1——作用于單元體A 的大主應(yīng)力；

σx——作用于單元體A 的側(cè)壓力；

σ3——作用于單元體A 的小主應(yīng)力；

K0 ——靜止土壓力系數(shù)；

R ——墻后填土重度；

Z ——計(jì)算點(diǎn)在填土下的深度。

根據(jù)上面的分析可知，在正常固結(jié)土中，σz=σ1=RZ, σ3 =σx= K0RZ，該單元體的應(yīng)力狀態(tài)可用莫爾圓Ⅰ表示。由于該點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)，故莫爾圓Ⅰ沒(méi)有與抗剪強(qiáng)度包線相切。當(dāng)擋土墻在土壓力作用下向前移動(dòng)或繞墻趾轉(zhuǎn)動(dòng)，墻后土體在水平方向上有拉伸趨勢(shì)，在擋土墻的位移由零發(fā)展到墻后填土達(dá)到主動(dòng)極限平衡狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)的位移量Δa 的過(guò)程中，σz=σ1 =RZ,保持不變；σx =σ3逐漸減小，且無(wú)法用解析法計(jì)算σ3的確定值。

擋土墻在位移過(guò)程中某一時(shí)刻單元體A 的應(yīng)力狀態(tài)可用莫爾圓來(lái)表示。當(dāng)擋土墻位移增大到某一極限值時(shí)，即Δ－Δa 時(shí)，墻后土體在某一范圍內(nèi)達(dá)到主動(dòng)極限平衡狀態(tài)。由于墻底以下的土有摩擦作用，不可能在整個(gè)土體中都達(dá)到極限平衡狀態(tài)，這時(shí)，σ3達(dá)到最小值，即σx =σ（3 min），而土的自重應(yīng)力σz是大主應(yīng)力卻是不變的，即：

σz=σ1 =RZ σx =σ（3 min）

式中：σz——地表下Z 深度處的自重應(yīng)力；

σ1——作用于單元體A 的大主應(yīng)力；

R ——墻后填土重度；

Z ——計(jì)算點(diǎn)在填土下的深度；

σx——作用于單元體A 的側(cè)壓力；

σ（3 min）——主動(dòng)土壓力狀態(tài)下土體剪切破壞時(shí)的最小主應(yīng)力。

根據(jù)極限平衡條件可求出σ3 , 就是主動(dòng)土壓力強(qiáng)度。這時(shí)對(duì)應(yīng)的極限應(yīng)力圓可用圓Ⅲ來(lái)表示，圓Ⅲ與抗剪強(qiáng)度包線相切。這時(shí)填土中會(huì)形成一系列的滑裂面，面上各點(diǎn)都處于極限平衡狀態(tài)，滑裂面與大主應(yīng)力面的夾角是θ=45° φ/2，莫爾圓上切點(diǎn)與小主應(yīng)力σ3的連線與σ軸的夾角即是θ 。

朗肯理論的基本假設(shè)：

(1)墻為鋼體；

(2)墻背垂直光滑；

(3)填土表面水平。

那么假設(shè)(1)保證擋土墻本身不會(huì)發(fā)生任何形式的變形；假設(shè)(2)能夠保證填土的任一垂直面上不存在摩擦力；假設(shè)(3)保證整個(gè)填土體與半空間彈性體在空間形狀上的一致性。假設(shè)(1)、(3)容易理解，下面對(duì)假設(shè)(2)與應(yīng)力狀態(tài)之間的關(guān)系進(jìn)行分析。在擋土墻高度范圍內(nèi)，填土表面下任一深度Z 處，有一與墻背接觸的單元體A。

由于墻背垂直光滑，那么單元體Ⅰ與墻背接觸的那個(gè)面上就不存在摩擦力；由于填土處于彈性平衡狀態(tài)，那么單元體Ⅰ、Ⅱ都處于靜止平衡狀態(tài)，則單元體A 與單元體Ⅱ接觸的另一個(gè)垂直面上也不存在摩擦力。這樣，假設(shè)(2)就可以保證填土的任一垂直面上不存在摩擦力，從而在任一垂直面上也不存在剪應(yīng)力。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，擋土墻高度范圍內(nèi)，任一水平面的剪應(yīng)力亦為零。這樣，表面水平的填土體中的應(yīng)力狀態(tài)就與半空間彈性體中的應(yīng)力狀態(tài)一致，即任一單元體的水平面和垂直面上的正應(yīng)力分別是大小主應(yīng)力 。

朗肯土壓力理論主要是基于彈性半空間體在極限平衡狀態(tài)下應(yīng)滿足的極限平衡條件而提出的土壓力計(jì)算方法，是土力學(xué)中一個(gè)重要內(nèi)容。但在許多文獻(xiàn)中，普遍存在兩個(gè)問(wèn)題，一是對(duì)朗肯理論的基本假設(shè)和應(yīng)力狀態(tài)之間的關(guān)系闡述過(guò)少；二是僅對(duì)墻后填土處于兩種極限平衡狀態(tài)時(shí)，提出了填土壓力的計(jì)算方法，卻極少對(duì)土的應(yīng)力狀態(tài)的變化過(guò)程進(jìn)行分析。只有從土應(yīng)力狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，才能真正理解朗肯土壓力理論。針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題加以分析和研究 。

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土壓力依據(jù)

朗肯土壓力理論是根據(jù)半空間體的應(yīng)力狀態(tài)和土的極限平衡理論得出的土壓力計(jì)算理論之一。

基本假設(shè)：墻背直立、光滑，墻后填土面水平。 這時(shí)，墻背與填土界面上的剪應(yīng)力為零。不改變右邊土體中的應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)擋土墻的變位符合上述主動(dòng)或被動(dòng)極限平衡條件時(shí)，作用在擋土墻墻背上的土壓力即為朗肯主動(dòng)土壓力或朗肯被動(dòng)土壓力。

土壓力計(jì)算

（1）主動(dòng)土壓力計(jì)算

土的極限平衡條件：土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)土的應(yīng)力狀態(tài)和土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)之間的關(guān)系式。

大主應(yīng)力σ₁ = σ_v=γz

小主應(yīng)力σ₃ = σ_h

主動(dòng)土壓力強(qiáng)度σ_a = σ_h

粘性土

無(wú)粘性土

主動(dòng)土壓力系數(shù)

粘性土的主動(dòng)土壓力強(qiáng)度包括兩部分：

1.由土自重引起的土壓力γzKa；

2.由粘聚力c引起的負(fù)側(cè)壓力2cKa1/2。

其中負(fù)側(cè)壓力對(duì)增背是拉應(yīng)力，實(shí)際上墻與土在很小的拉力作用下就會(huì)分離（一般情況下認(rèn)為土不能承受拉應(yīng)力），故在計(jì)算土壓力時(shí)，這部分應(yīng)忽去不計(jì)。

臨界深度z₀

粘性土主動(dòng)土壓力_Ea作用點(diǎn)位于墻底以上（H - z₀)/3處

無(wú)粘性土主動(dòng)土壓力，E_a— 合力（集中力），作用點(diǎn)位于墻底以上H /3處

（2）被動(dòng)土壓力計(jì)算

土的極限平衡條件

大主應(yīng)力σ₁ = σ_h

小主應(yīng)力σ₃ = σ_v=γz

被動(dòng)土壓力強(qiáng)度σ_p = σ_h

粘性土

無(wú)粘性土

被動(dòng)土壓力系數(shù)

粘性土被動(dòng)土壓力

E_p方向垂直墻背，作用點(diǎn)位于梯形面積的重心上

非粘性土被動(dòng)土壓力

E_p方向垂直墻背，作用點(diǎn)位于作用點(diǎn)位于墻底以上H /3處

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