相交數(shù)同倫

設(shè)f、g是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的兩個(gè)連續(xù)映射，若存在連續(xù)映射H：X×I→Y使得：

H(x，0)=f(x)

H(x，1)=gx∈X

則稱f與g同倫，記為f?g：X→Y或f?g，映射H稱為f與g之間的一個(gè)同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數(shù)映射族{h_t}_t∈I，h_t連續(xù)地依賴于t且h₀=f，h₁=g，即當(dāng)參數(shù)t從0變到1時(shí)，映射f連續(xù)地形變?yōu)間。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y(jié)的一切連續(xù)映射之集，則同倫關(guān)系?是C[X，Y]上等價(jià)關(guān)系，每個(gè)等價(jià)類稱為一個(gè)同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設(shè)Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續(xù)映射，若對(duì)每個(gè)x∈X，點(diǎn)f(x)與g(x)可由Y中線段連結(jié)，則f?g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個(gè)元素。設(shè)X，Y與Z均為拓?fù)淇臻g，若f?f：X→Y，g?g： Y→Z，則gf?gf： X→Z。

設(shè)X，Y為拓?fù)淇臻g，若存在連續(xù)映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf?Id_x且f·g?id_r。這Id、id均表示恒同映射，則稱f為同倫等價(jià)，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡(jiǎn)稱同倫的，記作X?Y。與單點(diǎn)空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x₀∈X，使得常值映射C：X→X。x₁→x₀與映射id_x同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關(guān)系是拓?fù)淇臻g之間的等價(jià)關(guān)系。X可縮等價(jià)于下列幾條中任意一條：(1)id_x?0，即恒同映射id_x零倫。(2) 對(duì)任意空間Y，映射f：X→Y，有f?0。(3)對(duì)任意空間Z和連續(xù)映射g：Z→X，g?0。

設(shè)A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續(xù)映射r：X→A，使得r|_A=id_A(或r·i=id_A)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid_x：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對(duì)任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個(gè)強(qiáng)形變收縮，A稱為X的強(qiáng)形變收縮核。強(qiáng)形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內(nèi)射i：A→X是同倫等價(jià)。 2100433B

亦稱布勞威爾度或拓?fù)涠取?duì)一類連續(xù)映射的一種刻畫。對(duì)n維球面S到自身的每一連續(xù)映射聯(lián)系一個(gè)整數(shù)。設(shè)f：S→S(n≥1)是連續(xù)映射，(K，φ)是S的一個(gè)剖分，同調(diào)群H_n(S)Z，這里Z表示整數(shù)加群，以[z]記同調(diào)群H_n(K)的生成元，若：

f~=φ°f°φ： |K|→|K|，

則有整數(shù)m使得f~的誘導(dǎo)同態(tài)f~_n*([z])=m[z]，這個(gè)m稱為f的布勞威爾度，記為deg f.映射度deg f與S的剖分(K，φ)和H_n(K)的生成元的選取無(wú)關(guān).根據(jù)誘導(dǎo)同態(tài)的性質(zhì)，可得到下述結(jié)論：若f，g：S→S都是連續(xù)映射，則：

1.若fg，則deg f=deg g.

2.deg(f°g)=deg f°deg g.

3.對(duì)于S上的恒同映射1_s，有deg 1_s=1，對(duì)于常值映射c：S→S，有deg c=0.

根據(jù)以上性質(zhì)，可以定義對(duì)應(yīng)

deg_#： [S，S]→Z，

使得對(duì)于f所屬同倫類[f]規(guī)定

deg_#([f])=deg f.

根據(jù)霍普夫(Hopf，H.)的度數(shù)定理，deg_#是一一對(duì)應(yīng)。它表明S到自身的連續(xù)映射從同倫觀點(diǎn)看由其映射度惟一決定.映射度理論應(yīng)用廣泛，如研究球面上向量場(chǎng)以及博蘇克-烏拉姆定理等。關(guān)于映射度還可推廣到能定向閉假流形以及其他領(lǐng)域中去。討論n維球面S到自身連續(xù)映射的同倫類構(gòu)成的集合[S，S]，是映射的同倫分類問題中最基本的內(nèi)容，并且很多幾何問題的解決都有賴于對(duì)這個(gè)集合性質(zhì)的了解。研究這個(gè)集合結(jié)構(gòu)的一種方法，就是對(duì)每個(gè)連續(xù)映射f：S→S聯(lián)系一個(gè)整數(shù)，即所謂映射度，它是由布勞威爾(Brouwer，L.E.J.)首先提出的。

亦稱函數(shù)。數(shù)學(xué)的基本概念之一。也是一種特殊的關(guān)系。設(shè)G是從X到Y(jié)的關(guān)系，G的定義域D(G)為X，且對(duì)任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y(jié)的映射.即關(guān)系G為映射時(shí)，應(yīng)滿足下列兩個(gè)條件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個(gè)被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

關(guān)系G常使用另一些記號(hào)：f：X→Y或XY.f與G的關(guān)系是y=f(x)(x∈X)，當(dāng)且僅當(dāng)G(x，y)成立.可取變域X中的不同元素為值的變?cè)Q為自變?cè)蜃宰兞俊Ｍ瑯涌扇∽冇験中的不同元素為值的變?cè)Q為因變?cè)蛞蜃兞?。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f).終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f).Y中與X中的元素有關(guān)系G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f).當(dāng)y=f(x)時(shí)，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示.對(duì)于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象.記為f(A)。對(duì)于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

相交數(shù)是重要的同倫不變量。映射度在更一般情形的推廣。設(shè)M與N分別是m維與n維的緊致有向(無(wú)邊)微分流形，n>m，A是N的(n-m)維閉有向子流形，f：M→N是C映射，f

T_pMT_f(p)N→T_f(p)N/T_f(p)A

保持定向時(shí)，記為#_p(f，A)=1；否則記為#_p(f，A)=-1，則#(f，A)=∑_p∈f(A)#_p(f，A)∈Z(因?yàn)閒(A)在M中余維為m)，稱為映射f對(duì)于子流形A的相交數(shù)。類似于映射度情形，得到：若f，g：M→N是光滑同倫映射，f

#(f，A)=#(g，A)

由此可將相交數(shù)定義推廣到一般連續(xù)映射的情形。相交數(shù)有直觀的幾何背景，設(shè)M₁，M₂N都是N的有向(無(wú)邊)緊致子流形，

dim N=dim M₁ dim M₂，

M₁

#(M₁，M₂)=(-1)dimM_1·dimM1#(M₂，M₁)

注意，當(dāng)M，N或A不是可定向流形時(shí)，可類似于模2映射度而定義模2相交數(shù)#₂(f，A)。

《史記·淮南衡山列傳》：“ 廬江王 邊 越 ，數(shù)使使相交，故徙為 衡山王 ，王 江 北。”

明 馮夢(mèng)龍 《掛枝兒·緣法》：“有緣法那在容和貌？有緣法那在前后相交？”

王西彥 《病人》：“我們相交雖說不久，不過總是朋友。”

《秦并六國(guó)平話》卷上：“ 李牧 上陣，二馬相交，惹起四野征云，振起滿天殺氣?！?

《三國(guó)志平話》卷上：“ 劉備 分軍三隊(duì)， 關(guān) 張 二人各將一隊(duì)。頭至兩軍相交。”

明 馮夢(mèng)龍 《掛枝兒·是非》：“你緣何不與我爭(zhēng)口氣，相交還是我，過后悔時(shí)遲。”

《二刻拍案驚奇》卷二十：“天下多是勢(shì)利之交，沒有黃金成不得相交?！?2100433B

1. 相交往；結(jié)交。

2. 相接，交戰(zhàn)。

3. 相好；好友。

4. 交叉。

5、神學(xué)定義

1.二階以上的導(dǎo)數(shù)習(xí)慣上稱之為高階導(dǎo)數(shù)。2.一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中A為三階導(dǎo)數(shù)，B為四階導(dǎo)數(shù)，則可以說B是A的高階導(dǎo)數(shù)。2100433B