高斯平面直角坐標(biāo)投影方法

高斯投影的方法是將地球按經(jīng)線劃分為帶，稱為投影帶。投影是從首子午線開始的，分6°帶和3°兩種。每隔6°劃分一帶的叫6°帶，每隔3°劃分一帶的叫3°帶。我國領(lǐng)土位于東經(jīng)73°∽136°之間，共包括了11個(gè)6°帶，即13∽23帶；22個(gè)3°投影帶即24∽45帶。

設(shè)想一個(gè)平面卷成橫圓柱套在地球外，如圖1（a)所示 。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為

縱坐標(biāo)軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標(biāo)軸，用y表示，兩軸的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由此構(gòu)成的平面直角坐標(biāo)系稱為高斯平面直角坐標(biāo)系，如圖1（b) 所示。每一個(gè)投影帶都有一個(gè)獨(dú)立的高斯平面直角坐標(biāo)系，區(qū)分各帶坐標(biāo)系則利用相應(yīng)投影帶的帶號(hào)。在每一個(gè)投影帶內(nèi)，y坐標(biāo)值都有正有負(fù)，這對(duì)于計(jì)算和使用都不方便，為了使y坐標(biāo)都為正值，故將縱坐標(biāo)軸向西平移500㎞，并在y坐標(biāo)前加上投影帶的帶號(hào)。 6°帶投影是從英國格林尼治子午線開始，自西向東，每隔經(jīng)差6°分為一帶，將地球分為60個(gè)帶，其編號(hào)分別為1，2，3，…60。任意帶的中央子午線經(jīng)度為L(zhǎng)o，它與投影帶號(hào)N的關(guān)系如下所示：

Lo=(6N-3°)

式中：N———6°帶的帶號(hào)

離中央子午線越遠(yuǎn)，長(zhǎng)度變形越大，在要求較小的投影變形時(shí)，可采用3°投影帶。3°帶是在6°帶的基礎(chǔ)上劃分的，如圖2所示。每3°為一帶，從東經(jīng)1°30′開始，共120帶，其中央子午線在奇數(shù)帶時(shí)與6°帶的中央子午線重合，每帶的中央子午線可用下面的工式計(jì)算：

Lo=3N′

式中：N′——3°帶的帶號(hào)。

為了避免y坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，3°帶的坐標(biāo)原點(diǎn)同6°帶一樣，向西移動(dòng)500㎞，并在y坐標(biāo)前加3°帶的帶號(hào)。

應(yīng)當(dāng)注意的是，高斯投影沒有角度變形，但有長(zhǎng)度變形和面積變形，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形就越大。其主要特點(diǎn)有以下三點(diǎn)：

（1）投影后中央子午線為直線，長(zhǎng)度不變形，其余經(jīng)線投影對(duì)稱并且凹向于中央子午線，離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。

（2）赤道的投影也為一直線，并與中央子午線正交，其余的經(jīng)緯投影為凸向赤道的對(duì)稱曲線。

（3）經(jīng)緯投影后仍然保持相互垂直的關(guān)系，投影后有角度無變形。

此坐標(biāo)系中：中央子午線是縱坐標(biāo)軸，為x軸，并規(guī)定向北（向上）為正方向；赤道是橫坐標(biāo)軸，為Y軸，并規(guī)定向東（向右）為正方向；兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；角度從縱坐標(biāo)軸（x軸）的正向開始按順時(shí)針方向量取，象限也按順時(shí)針編號(hào)2100433B

平面直角坐標(biāo)系的概念

在平面“二維”內(nèi)畫兩條互相垂直，并且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸。簡(jiǎn)稱直角坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系有兩個(gè)坐標(biāo)軸，其中橫軸為X軸(x-axis)，取向右方向?yàn)檎较?；縱軸為Y（y-axis)軸，取向上為正方向。坐標(biāo)系所在平面叫做坐標(biāo)平面，兩坐標(biāo)軸的公共原點(diǎn)叫做平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。X軸和Y軸把坐標(biāo)平面分成四個(gè)象限，右上面的叫做第一象限，其他三個(gè)部分按逆時(shí)針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數(shù)軸為界，橫軸、縱軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)不屬于任何象限。一般情況下，x軸和y軸取相同的單位長(zhǎng)度。

點(diǎn)的坐標(biāo) 　建立了平面直角坐標(biāo)系后，對(duì)于坐標(biāo)系平面內(nèi)的任何一點(diǎn)，我們可以確定它的坐標(biāo)(coordinate)。反過來，對(duì)于任何一個(gè)坐標(biāo)，我們可以在坐標(biāo)平面內(nèi)確定它所表示的一個(gè)點(diǎn)。

對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別向X軸、Y軸作垂線，垂足在X軸、Y軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)a,b分別叫做點(diǎn)C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ordered pair)（a,b）叫做點(diǎn)C的坐標(biāo)。

一個(gè)點(diǎn)在不同的象限或坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)不一樣。

特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn) 　1.x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零。

2.第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等；第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

3.在任意的兩點(diǎn)中，如果兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于縱軸；如果兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，則兩點(diǎn)的連線平行于橫軸。

4.點(diǎn)到軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)到x軸的距離為|y|； 點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為|x|；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為x的平方加y的平方再開根號(hào)；

在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn) 　1.關(guān)于x成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫同縱反）

2.關(guān)于y成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫反縱同）

3.關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。（橫縱皆反）

各象限內(nèi)和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和坐標(biāo)的規(guī)律 　第一象限：（ ， ）正正

第二象限：（-， ）負(fù)正

第三象限：（-，-）負(fù)負(fù)

第四象限：（ ，-）正負(fù)

x軸正方向：（ ，0）

x軸負(fù)方向：（-，0）

y軸正方向：（0， )

y軸負(fù)方向：(0，-）

x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0。 原點(diǎn)：（0，0）

注：以數(shù)對(duì)形式（x，y）表示的坐標(biāo)系中的點(diǎn)（如2，-4），“2”是x軸坐標(biāo)，“-4”是y軸坐標(biāo)。

高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影簡(jiǎn)稱“高斯投影”，又名"等角橫切橢圓柱投影”，地球橢球面和平面間正形投影的一種。德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一 1855）于十九世紀(jì)二十年代擬定，后經(jīng)德國大地測(cè)量學(xué)家克呂格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年對(duì)投影公式加以補(bǔ)充，故名。該投影按照投影帶中央子午線投影為直線且長(zhǎng)度不變和赤道投影為直線的條件，確定函數(shù)的形式，從而得到高斯一克呂格投影公式。投影后，除中央子午線和赤道為直線外， 其他子午線均為對(duì)稱于中央子午線的曲線。設(shè)想用一個(gè)橢圓柱橫切于橢球面上投影帶的中央子午線，按上述投影條件，將中央子午線兩側(cè)一定經(jīng)差范圍內(nèi)的橢球面正形投影于橢圓柱面。將橢圓柱面沿過南北極的母線剪開展平，即為高斯投影平面。取中央子午線與赤道交點(diǎn)的投影為原點(diǎn)，中央子午線的投影為縱坐標(biāo)x軸，赤道的投影為橫坐標(biāo)y軸，構(gòu)成高斯克呂格平面直角坐標(biāo)系。

高斯-克呂格投影在長(zhǎng)度和面積上變形很小，中央經(jīng)線無變形，自中央經(jīng)線向投影帶邊緣，變形逐漸增加，變形最大之處在投影帶內(nèi)赤道的兩端。由于其投影精度高，變形小，而且計(jì)算簡(jiǎn)便（各投影帶坐標(biāo)一致，只要算出一個(gè)帶的數(shù)據(jù)，其他各帶都能應(yīng)用），因此在大比例尺地形圖中應(yīng)用，可以滿足軍事上各種需要，能在圖上進(jìn)行精確的量測(cè)計(jì)算。

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